Глава I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ

§ 1. Тензорная алгебра

Определение 1. Алгебру, обладающую единицей, мы будем называть унитарной алгеброй. Мы будем обозначать единицу унитарной алгебры знаком 1 (если не оговорено противное) и отождествлять ее с единицей основного поля. Вообще, каждый элемент а·1 алгебры будет отождествляться с элементом а основного поля. Элементы основного поля будем называть скалярами алгебры. Под унитарным гомоморфизмом унитарной алгебры А в унитарную алгебру В мы будем понимать гомоморфизм, отображающий единицу алгебры А в единицу алгебры В.

Напомним, что системой образующих алгебры А называется такое подмножество Е алгебры А, которое не содержится ни в какой подалгебру, строго содержащейся в алгебре А. В случае унитарных алгебр вместо понятия системы образующих уместно рассматривать более общее понятие системы почти образующих алгебры определяемое следующим образом:

Определение 2. Пусть подмножество, унитарной алгебры А. Мы будем говорить, что является системой почти образующих алгебры А или что понти порождает алгебру если подмножество становится системой образующих после прибавления к нему единицы алгебры А.

Пусть нам заданы поле К и какое-нибудь множество Исходя из этих данных, мы построим некоторую ассоциативную алгебру над полем которая будет называться свободной ассоциативной алгеброй множества над полем К. Пусть сперва свободная полугруппа, порожденная множеством

(ср. Бурбаки, Алгебра, гл. I, § 1, п° 3). Она состоит из "слов", образованных из элементов множества причем каждое слово является произведением в полугруппе конечной последовательности элементов множества (Случай пустой последовательности не исключается; ей соответствует единичный элемент полугруппы М.) Если две последовательности элементов множества то равенство

имеет место тогда и только тогда, когда Элемент множества и слово, соответствующее одноэлементной последовательности, состоящей из этого элемента, отвечают друг другу взаимно однозначно; мы их будем отождествлять. Пусть, далее, алгебра полугруппы над полем К (ср. Бурбаки, Алгебра, гл. II, § 7, п° 9). Полугруппа отождествляется с подмножеством алгебры замкнутым относительно операции умножения в причем умножение в полугруппе является ограничением умножения в алгебре на множество Кроме того, множество образует базис алгебры если эту алгебру рассматривать как векторное пространство над полем Ясно, что является ассоциативной унитарной алгеброй над полем К и что множество есть система почти образующих алгебры Эту алгебру и называют свободной ассоциативной алгеброй множества над полем

Предложение Пусть К — поле, множество и -унитарная ассоциативная алгебра над полем К. Пусть отображение множества в алгебру А. Тогда существует один и только один унитарный гомоморфизм свободной ассоциативной алгебры множества над полем К в алгебру А, продолжающий отображение Элементы составляют систему почти образующих подалгебры алгебры А.

Отображение распространяется сперва на свободную полугруппу порождаемую множеством Для этого следующим образом определяется отображение множества в алгебру А:

— любые элементы множества Ясно, что для каждой пары элементов полугруппы имеет место равенство

Так как элементы множества образуют базис векторного пространства над полем то существует одно и только одно линейное отображение пространства в пространство продолжающее отображение Непосредственно видно, что является гомоморфизмом алгебры в алгебру А и что Обратно, очевидно, что унитарный гомоморфизм алгебры в алгебру А, продолжающий отображение должен совпадать с на полугруппе и что поэтому отображение совпадает с отображением Формулы (1) показывают, что образ множества содержится в подалгебре А алгебры порождаемой множеством и 1; следовательно, имеет место включение С другой стороны, алгебра содержит 1 и множество так что

Предложение 1 показывает, что свободные ассоциативные ялгебры играют по отношению ко всем ассоциативным (но не обязательно коммутативным) алгебрам роль, аналогичную той, которую алгебры полиномов играют по отношению к ассоциативным и коммутативным алгебрам. Поэтому элементы свободной ассоциативной алгебры множества над полем К называются также некоммутативными полиномами от элементов множества с коэффициентами из поля К. При тех же обозначениях, что и в формулировке предложения 1, пусть -некоммутативный полином от элементов множества (т. е. символом обозначают элемент алгебры А и говорят, что этот элемент получается из полинома подстановкой (для всех

Пусть даны множество поле К и некоторое множество некоммутативных полиномов от элементов множества с коэффициентами из К. Пусть алгебра всех некоммутативных

полиномов от элементов множества с коэффициентами из К Обозначим через двусторонний идеал алгебры порожденный элементами множества , а через А — фактор-алгебру Очевидно, -унитарная алгебра. Обозначим через образ элемента при естественном отображении алгебры на алгебру А. Тогда видно, что совокупность элементов соответствующих всем составляет систему почти образующих алгебры А и что для всех

Предложение 2. Пусть К — поле, множество свободная ассоциативная алгебра множества над полем — подмножество алгебры идеал, порожденный множеством в алгебре — алгебра естественный гомоморфизм алгебры на алгебру А. Пусть, далее, А — ассоциативная унитарная алгебра над отображение множества в алгебру А, такое, что для всех Тогда существует один и только один унитарный гомоморфизм алгебры А в алгебру А, такой, что для всех Множество является системой почти-образующих алгебры

Отображение можно продолжить до унитарного гомоморфизма алгебры в алгебру А (согласно предложению 1). Из наших предположений следует, что ядро гомоморфизма содержит а поскольку это ядро является идеалом алгебры оно содержит идеал . Следовательно, определяет при переходе в фактор-алгебру гомоморфизм алгебры А в алгебру А, который, очевидно, унитарен и для которого имеет место равенство при всех Множество является системой почти-образующих алгебры А. Поэтому

— система почти-образующих алгебры и гомоморфизм вполне определяется условием, что отображается в (для всякого

Пусть теперь V — векторное пространство над полем К, и пусть свободная ассоциативная алгебра множества V над полем К. Следует заметить, что нужно проводить строгое различие между операциями умножения элементов множества V на скаляры из поля К и сложения элементов множества V, рассматриваемыми в заданном векторном пространстве V, и соответствующими операциями в векторном пространстве Мы сохраняем обычные обозначения для операций в векторном пространстве для мы обозначаем

через скалярное произведение элемента а на элемент х в пространстве и через сумму элементов Образуем идеал порожденный в алгебре элементами следующего вида:

(для всех элементов и для всех возможных пар элементов из знак — обозначает операцию вычитания в алгебре Пусть - фактор-алгебра и пусть - естественный гомоморфизм алгебры на алгебру Для имеем

и эти равенства показывают, что отображение, индуцированное на множестве V отображением является линейным отображением заданного векторного пространства V в векторное пространство Покажем, что это отображение взаимно однозначно. Пусть В — базис пространства V, и пусть V — свободная ассоциативная алгебра множества В над полем К. Тождественное отображение множества В в векторное пространство V может быть продолжено до линейного отображения пространства V в пространство

Применяя предложение 2 для случая, когда множество состоит из элементов (2) алгебры мы видим, что существует унитарный гомоморфизм алгебры в алгебру такой, что при всех Но элементы множества В линейно независимы в а с другой стороны, они являются образами при отображении элементов множества Следовательно, семейство элементов линейно независимо в пространстве Этим доказывается, что ограничение отображения на пространство V является взаимно однозначным отображением. Элементы х пространства V мы отождествляем с их образами в алгебре становится тогда векторным подпространством в После этого отождествления алгебру называют тензорной алгеброй над векторным пространством

Предложение 3. Пусть V — векторное пространство, -тензорная алгебра над базис пространства полугруппа, состоящая из конечных произведений элементов множества В. Полугруппа является (с точностью до изоморфизма, совпадающего с тождественным отображением на множестве В) свободной полугруппой, порождаемой множеством является, кроме тогоу базисом векторного пространства

Построенный выше гомоморфизм совпадает с тождественным отображением на множестве он отображает полугруппу на полугруппу, состоящую из конечных произведений элементов из В, т. е. на полугруппу порожденную множеством В. Обратно, тождественное отображение множества В в алгебру можно продолжить в однозначно определенный унитарный гомоморфизм алгебры в алгебру причем Отображение является гомоморфизмом алгебры в себя, совпадающим с тождественным отображением на множестве В и, следовательно, также на множестве V и переводящим 1 в 1. Так как V, очевидно, является системой почти-образующих алгебры то тождественное отображение, и является изоморфизмом полугруппы на полугруппу Так как, кроме того, элементы из линейно независимы в то элементы из линейно независимы в Из этого следует, что является базисом векторного пространства

Пусть теперь А — некоторая ассоциативная унитарная алгебра над полем К, и пусть линейное отображение пространства Если какой-нибудь из элементов вида (2) алгебры то в результате подстановки в элемент получается элемент 0. Поэтому из предложения 2 следует, что отображение может быть продолжено в однозначно определенный унитарный гомоморфизм алгебры в алгебру А. Элементы алгебры называются также тензорными выражениями от элементов векторного пространства если то говорят, что получается в результате подстановки в выражение этот элемент алгебры А обозначается Как видно, тензорные выражения играют по отношению к элементам векторного пространства роль, аналогичную роли некоммутативных полиномов по отношению к элементам абстрактного множества.

Теорема 1. Пусть V — векторное пространство,

тензорная алгебра над подмножество пространства идеал, порожденный множеством в алгебре — алгебра - естественное отображение алгебры на алгебру А. Пусть А — унитарная ассоциативная алгебра и - линейное отображение пространства такое, что для каждого Тогда существует один и только один унитарный гомоморфизм алгебры А в алгебру А, при котором для всех множество является системой почти-образующих алгебры

Как мы видели, отображение может быть продолжено в унитарный гомоморфизм алгебры в алгебру Из наших предположений следует, что ядро гомоморфизма содержит множество следовательно, также идеал . Поэтому при переходе в фактор-алгебру определяет гомоморфизм алгебры А в алгебру А. Ясно, что является унитарным гомоморфизмом и что для Так как является системой почти-образующих алгебры то система почти-образующих алгебры Гомоморфизм вполне определяется условием, что образом служит (для всех а образом 1 служит 1.

В дальнейшем нам понадобится следующая лемма:

Лемма 1. Пусть V — векторное пространство над полем тензорная алгебра над пространством Пусть заданы два линейных отображения пространства V в пространство эндоморфизмов векторного пространства и пусть и -элемент из Тогда в существует один и только один элемент X, для которого имеет место равенство

при каждом и каждом кроме того,

Пусть - базис пространства Как мы знаем, полугрупп состоящая из конечных произведений элементов из В, представляет собой базис пространства а с другой стороны, ее можно рассматривать как свободную полугруппу, порожденную множеством В (предложение 3). Каждый элемент этой полугруппы, отличный от 1, записывается однозначным образом в виде произведения где целое элементы множества В. Определим рекуррентно

элементы алгебры следующим образом. Положим

для каждого элемента Если элементы уже определены, то положим

Существует линейное отображение X пространства в себя, при котором для всякой конечной последовательности элементов множества В. Следовательно, формула

справедлива для случая, когда а у является произведением конечного числа элементов множества В. Но обе части равенства зависят линейно от у (при. заданном поэтому наша формула остается справедливой для всех если Так как обе части равенства зависят (при фиксированном линейно от х, то мы видим, что формула справедлива для всех и всех Для того чтобы доказать единственность эндоморфизма X, достаточно показать, что линейное отображение пространства в себя, при котором

для всех и всех является нулевым отображением. Пусть ядро отображения оно является векторным пространством, и из следует Кроме того, по предположению, содержит единичный элемент. Утверждение, что будет доказано, если мы установим, что является левым идеалом. Последнее вытекает из следующей леммы:

Лемма 2. Пусть А — ассоциативная унитарная алгебра, система почти-образующих алгебры А, и пусть а — векторное подпространство пространства А, для которого а при каждом Тогда а является левым идеалом алгебры

Действительно, пусть множество всех для которых хааа. Очевидно, является векторным подпространством пространства А Для элементов х и у из имеем , так что Этим доказано, что

подалгебра алгебры А. Она, очевидно, содержит 1 и, по предположению, содержит множество Следовательно, илемма 2 доказана.