§ 5. Расширение основного поля

На протяжении всего параграфа мы будем обозначать через некоторое надполе поля К. Напомним, что мы условились отождествлять всякий эндоморфизм пространства V с его продолжением в эндоморфизм пространства При этом отождествлении пространством эндоморфизмов пространства является пространство получающееся из пространства 6 расширением основного поля. Кроме того, мы отождествили всякую полиномиальную функцию на 6 с ее продолжением на пространство

Лемма 1. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства Тогда множество является алгебраической группой автоморфизмов пространства

Пусть базис поля над полем К. Всякая полиномиальная функция на представима тогда одним и только одним способом в виде суммы где — полиномиальные функции над 6. Если то принадлежат полю и, следовательно, для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы при всех Если а — идеал, соответствующий группе то через а мы обозначим множество всех полиномиальных функций над которые участвуют в представлении элементов из а в виде

Элементами множества О являются тогда все те автоморфизмы пространства V, для которых при всех Очевидно, что множество О есть группа; последнее утверждение показывает, что это — алгебраическая группа.

Пусть теперь нам дана некоторая алгебраическая группа О автоморфизмов пространства Мы сопоставим ей некоторую группу автоморфизмов пространства Для этого нам понадобится следующая лемма.

Лемма 2. Пусть А — подмножество в — соответствующий этому множеству идеал алгебры Пусть базис поля над полем и пусть элемент из причем элементы из о (6). Для того чтобы полиномиальная функция обращалась в нуль на множестве А, необходимо и достаточно, чтобы все принадлежали идеалу а. Идеал, соответствующий множеству А в кольце является множеством линейных комбинаций с коэффициентами из элементов из а. Идеал простой в том и только в том случае, если а— простой идеал.

Пусть так как принадлежат полю К, то тогда и только тогда, когда для всех Таким образом, множеству А соответствует в алгебре идеал Очевидно, следовательно, если простой идеал, то тем же свойством обладает и идеал а. Обратно, предположим, что а — простой идеал. Пусть элемент алгебры такой, что принадлежит идеалу в то время как Покажем, что тогда и что, следовательно, простой идеал. Действительно, для некоторого индекса функция не принадлежит идеалу а. Если точка множества для которой то 0. Но так как то и, следовательно, для всех Мы видим, что все функции тождественно равны нулю на множестве и поэтому принадлежат а. Так как не содержится в а, то все так что Лемма 2 доказана.

Теорема 3. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, и пусть наименьшая

алгебраическая группа автоморфизмов пространства содержащая О. Если в алгебре группе соответствует идеал а, то группе соответствует в идеал состоящий из линейных комбинаций с коэффициентами из элементов идеалам. Далее, область единственности группы Пусть — алгебраическая компонента единицы группы О. Алгебраической компонентой единицы группы является тогда наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства содержащая группу Пусть — все различные классы смежности группы по подгруппе тогда множества суть все различные классы группы по подгруппе

Из леммы 2 следует, что идеал, соответствующий, группе О в алгебре Так как произведение элементов, из О принадлежит О, то, согласно предложению 2 § 1, множество автоморфизмов s простгранства , удовлетворяющих условию для всех является алгебраической группой. Так как то всякая полиномиальная функция на обращающаяся в нуль на принадлежит следовательно, идеал, соответствующий группе в алгебре Очевидно, что всякая алгебраическая группа автоморфизмов пространства содержащая труппу О, содержит также группу так что Группа является алгебраической группой автоморфизмов пространства V и содержит группу (лемма 1). Кроме того, каждая функция из а нулю на так что То что О — область единственности в группе вытекает непосредственно из того факта, что идеал, соответствующий группе О в алгебре Так как группе соответствует в алгебре простой идеал, то, согласно лемме 2, группа неприводима. Множества очевидно, содержатся.

в группе Если элементы из и если то

так что Это показывает, что множества попарно не имеют общих элементов. Пусть автоморфизм пространства не принадлежащий ни одному из этих множеств. Для каждого найдется тогда полиномиальная функция над пространством равная нулю на но не равная нулю в точке Так как объединение множеств то функция обращается в нуль на следовательно, также на Но, с другой стороны, эта функция не равна нулю в точке так что Мы видим, что совпадает с объединением множеств Группа таким образом, — конечного индекса в группе и ввиду своей неприводимости является алгебраической компонентой единицы группы Теорема 3 доказана.

Определение 1. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства Про наименьшую алгебраическую группу автоморфизмов пространства содержащую группу мы будем говорить, что она получается группы расширением основного поля до поля и условимся обозначать эту группу через

Предложение 1. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем К у и пусть алгебраические группы автоморфизмов пространств соответственно. Тогда

Группа есть алгебраическая группа, содержащая следовательно, она содержит также группу Пусть полиномиальная функция на пространстве эндоморфизмов пространства равная нулю на полиномиальная функция на пространстве эндоморфизмов - пространства V равна нулю

на следовательно, на Пусть теперь точка группы мы знаем, что полиномиальная функция на пространстве эндоморфизмов пространства обращается в нуль на Но тогда она также обращается в нуль на так что обращается в нуль на Отсюда вытекает, что

и предложение 1 доказано.

Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства и пусть полиномиальная функция на Функция является ограничением на некоторой полиномиальной функции над пространством Но можно также рассматривать как полиномиальную функцию над пространством и ее ограничение на полиномиальная функция на продолжающая функцию Так как область единственности в то существует не более одной полиномиальной функции на продолжающей функцию В дальнейшем мы будем отождествлять полиномиальные функции на с продолжающими их полиномиальны функциями на Кольцо полиномиальных функций на отождествляется тем самым с некоторым подкольцом кольца полиномиальных функций на Очевидно, что любой элемент из представим в виде линейной комбинации с коэффициентами из элементов кольца Покажем, что алгебру можно отождествить с алгеброй, получающейся из расширением основного поля до поля Достаточно показать, что если элементы поля линейно независимвю относительно поля элементы алгебры линейно независимые над то элементы также линейно независимы над К. Пусть для некоторых элементов с из имеет место соотношение

и пусть — любой элемент из Тогда

Элементы принадлежат полю К и, следовательно, все равны нулю. Так как это имеет место для всех то

так что

что и доказывает наше утверждение.

Предположим теперь, что группа О неприводима; тогда тем же свойством обладает и группа Пусть поля рациональных функций над группами соответственно; они являются полями отношений колец и Так как кольцо отождествлено с подкольцом кольца то подполе поля Если элемент поля то рациональная функция на группе продолжает рациональную функцию на группе О. Иначе говоря, функция рассматриваемая как элемент поля определена в тех же точках группы О, что и функция рассматриваемая как элемент поля и значения, принимаемые функцией на О, не зависят от того, рассматривается ли она как рациональная функция на О или же как рациональная функция на

Лемма 3. Пусть О — неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства рациональная функция на надполе поля К. Предположим, что функция определена в некоторой точке группы Тогда функцию можно представить в виде где рациональные функции на

Пусть рациональные функции на группе такие, что и Если базис поля над полем К, то пусть

где полиномиальные функции на группе О. С другой стороны, функцию можно представить в виде

где и полиномиальные функции на О. Имеем

Так как отождествляется с алгеброй, получающейся из алгебры расширением основного поля, т. е. с алгеброй то для всех Но по меньшей мере для одного индекса имеем так что что и доказывает лемму 3.

Из этой леммы непосредственно следует, что если функция рассматриваемая как рациональная функция на определена в точке то она определена в этой точке также как функция на

Предложение 2. Пусть неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства Пусть поля рациональных функций над группами и соответственно. Поле получается присоединением к полю элементов поля . Подполя линейно свободны относительно поля К.

Первое утверждение легко следует из того, что элементы алгебры являются линейными комбинациями с коэффициентами из элементов из С другой стороны, как было показано выше, алгебра над полем К есть тензорное произведение алгебр и над К. Отсюда легко усмотреть второе утверждение предложения 2 (ср. Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 2, п° 3, предложение 5).

Следствие. Поле рациональных функций на неприводимой алгебраической группе автоморфизмов пространства V является всегда сепарабельным расширением поля К.

Действительно, пусть К — алгебраически замкнутое расширение поля К, и пусть алгебраически замкнутое надполе поля Поле алгебраическое расширение поля Существует изоморфизм этого поля на некоторое подполе поля совпадающий с тождественным автоморфизмом

на При этом изоморфизме поле К переходит в некоторое Алгебраически замкнутое подполе поля Подполя и поля линейно свободны, что и доказывает сепарабельность поля над полем К (Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 8, п° 2, предложение

Предложение 3. Пусть рациональное отображение неприводимой алгебраической группы автоморфизмов пространства V в векторное пространство над полем К. Тогда существует одно и только одно рациональное отображение группы в пространство продолжающее отображение

Пусть -множество точек группы на которых определено отображение и пусть 5 — точка из Существует рациональное отображение пространства в пространство определенное в точке 5 и такое, что след отображения на группе Отображение можно продолжить в рациональное отображение пространства (гл. I, § 6, предложение 3). Так как определено в точке то существует след этого отображения на группе во всех точках группы в которых определено отображение т. е. во всех точках некоторого алгебраически плотного подмножества группы Если провести аналогичное построение с помощью некоторой другой точки или другого рационального отображения над 6, удовлетворяющего тем же условиям, что и то получается рациональное отображение группы в пространство определенное и совпадающее с во всех точках некоторого алгебраически плотного подмножества группы содержащегося в и содержащего точку Так как область единственности в то Это показывает, что продолжает Так как область единственности в группе то единственное рациональное отображение группы в пространство продолжающее отображение

Замечание, Наше доказательство показывает, что если след на рационального отображения пространства

в то рациональное отображение группы в продолжающее является следом на рационального отображения пространства в продолжающего отображение

Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем К, и пусть — неприводимые алгебраические группы автоморфизмов пространств соответственно. Пусть векторные пространства над полем рациональное отображение группы О в рациональное отображение группы в Пусть, наконец, рациональные отображения группы в и группы продолжающие соответственно. Тогда рациональное отображение группы продолжающее декартово произведение отображений совпадает с отображением на группе Так как -область единственности в то отсюда следует, что

Предложение 4. Пусть рациональное представление алгебраической группы автоморфизмов пространства автоморфизмами некоторого конечномерного пространства над полем К. Пусть — наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства содержащая группу Тогда существует одно и только одно рациональное представление группы автоморфизмами пространства продолжающее представление При этом наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства содержащая группу

Пусть алгебраическая компонента единицы группы и пусть все различные классы группы по подгруппе Как нам известно, алгебраическая компонента единицы группы и классы группы по подгруппе (теорема 3). Ограничение отображения на группу является рациональным представлением группы Это представление может быть продолжено в рациональное представление группы в пространство эндоморфизмов пространства (предложение 3). Так как область единственности в группе то из леммы 7 § 4 следует, что

— рациональное представление группы Представим элемент из в виде где и положим

тогда обратимый эндоморфизм пространства Пусть элементы группы (где принадлежат тогда

Элемент принадлежит группе (так как нормальный делитель группы теорема 2 из § 3). С другой стороны, для некоторого индекса к имеем — где Отображения

очевидно, являются рациональными представлениями группы (так как рациональное отображение). Эти представления совпадают на следовательно, также на (предложение 3). Отсюда

а с другой стороны,

Отсюда сразу вытекает равенство

которое показывает, что представление (очевидно, рациональное) группы Ясно, что продолжает Пусть, наоборот, рациональное представление группы автоморфизмами пространства продолжающее представление Ограничение на рациональное отображение группы продолжающее следовательно, совпадающее с (предложение 3). Поэтому для имеем

так что

Пусть наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства содержащая группу

Автоморфизмы пространства содержащиеся в образуют алгебраическую группу (лемма 1), содержащую группу Эта группа содержит, следовательно, и группу так что Покажем, что содержит откуда будет следовать, что так Каждый элемент из является произведением одного из элементов на элемент из Так как элементы содержатся в группе то достаточно показать, что т. е. что всякая полиномиальная функция на пространстве эндоморфизмов пространства равная нулю на равна нулю на Но композиция отображений является рациональной функцией на и эта функция обращается в нуль на так как Отсюда следует, что что и доказывает наше утверждение.

Условимся в дальнейшем отождествлять рациональные отображения неприводимых алгебраических групп автоморфизмов пространства V в векторные пространства над полем К с их продолжениями в рациональные отображения группы