§ 6. Расширение основного поля

В этом параграфе мы будем обозначать через К некоторое поле и через некоторое надполе поля Если V — векторное пространство над К, то через мы обозначим то векторное пространство, которое получается из V расширением основного поля до (Бурбаки, Алгебра, гл. III, § 2, п° 1). Так как V — векторное пространство, то его можно отождествить с подмножеством пространства с помощью естественного отображения пространства V в что мы и сделаем. Тогда всякий базис пространства V будет также базисом пространства Если, кроме того, -базис поля над полем К, то всякий элемент у из однозначным образом представим в виде

Пусть подпространство пространства Тождественное отображение пространства может быть продолжено в изоморфизм пространства в пространство Действительно, пусть В — базис пространства Линейное отображений в продолжающее тождественное отображение (Бурбаки, Алгебра, гл. III, § 2, п° 1, предложение 2), переводит В в линейно независимое семейство элементов из так как В является частью некоторого базиса пространства Это доказывает наше утверждение. В дальнейшем мы всегда будем отождествлять пространство с его образом в пространстве при помощи так определенного изоморфизма.

Если V — прямая сумма подпространств то является прямой суммой подпространств Действительно, если базис пространства а следовательно, и пространства то объединение множеств является базисом пространства V и пространства Отсюда непосредственно вытекает, что если семейство векторных пространств над полем К, то тождественное отображение произведения этих пространств в может быть продолжено в изоморфизм произведения на

Мы будем отождествлять с пространством посредством этого изоморфизма.

Пусть векторные пространства над полем К. Всякое -линейное отображение множества в пространство может быть (и притом единственным образом) продолжено в -линейное отображение множества в Действительно, пусть базис пространства Существует одно и только одно -линейное отображение множества в пространство которое совпадает с отображением на Легко видеть, что продолжает

Определение 1. Билинейное отображение произведения двух векторных пространств над полем К называется невырожденным, если выполнены следующие условия: а) при из равенства для всех следует при из для всех следует

Предложение 1. Пусть билинейное отображение произведения векторных пространств над полем К в векторное пространство Если отображение невырожденное, то невырожденным является также отображение произведения в продолжающее отображение

Запишем элемент у из пространства для которого базис поля над полем К и где для всех Для имеем следовательно, для всех так что Подобным же образом убеждаемся, что условие для всех влечет за собой

Пусть векторные пространства над тензорное произведение этих пространств. Тогда -линейное отображение

произведения может быть продолжено в -линейное отображение произведения в пространство это же последнее, в свою очередь, определяет линейное отображение тензорного произведения в Кроме того, если базис пространства а следовательно, и пространства то взаимно однозначно отображает множество на некоторый базис пространства Отсюда вытекает, что является изоморфизмом пространства на пространство С помощью этого изоморфизма мы отождествим Пусть есть -линейное отображение произведения в некоторое векторное пространство и пусть соответствующее линейное отображение тензорного произведения Если есть -линейное отображение произведения в продолжающее отображение то линейное отображение тензорного произведения V в соответствующее отображению является продолжением отображения

Пусть А — алгебра над полем Билинейное отображение произведения в А продолжается в билинейное отображение произведения в определяющее умножение в пространстве А, так что становится алгеброй. Если ассоциативная алгебра, то и алгебра ассоциативна (ср. Бурбаки, Алгебра, гл. III, § 3, n° 41)). Если А — алгебра Ли (в этом случае мы обозначим умножение через то и является алгеброй Ли. Действительно, обозначим умножение в знаком Запишем элемент у из в виде базис поля над полем К и где для всех Тогда

так как С другой стороны,

— трилинейное отображение произведения в пространство Это отображение переводит множество в Следовательно, оно является нулевым отображением; это доказывает, что алгебра Ли.

Непосредственно очевидно, что если а — левый идеал (или правый идеал, или идеал) алгебры то левый идеал (правый идеал, идеал) алгебры

Пусть V — векторное пространство над полем К V— дуальное к нему пространство. Естественное отображение произведения в поле К продолжается в билинейное отображение произведения в поле Так как отображение невырожденное, то невырожденным будет также и отображение (предложение 1). Из этого мы заключаем, что отображение определяет изоморфизм пространства в пространство дуальное к пространству сопоставляющий элементу из линейную функцию над Для образ элемента [рассматриваемый как элемент пространства при определенном выше изоморфизме является линейной функцией над пространством продолжающей отображение Мы будем называть изоморфизм естественным изоморфизмом в Следует отметить, что, вообще говоря, образ пространства в при этом не совпадает со всем пространством Но такое совпадение имеет место, если пространство V имеет конечную размерность так как в этом случае размерности пространств и равны .

Пусть - линейное отображение векторного пространства V над полем К в некоторое векторное пространство над тем же полем, и пусть ядро отображения Тогда ядром линейного отображения пространства в продолжающего является подпространство пространства Действительно, непосредственно видно, что содержит Пусть, наоборот, у — элемент пространства ; положим где базис поля для всех Тогда отсюда следует, что для всех так что и

Пусть теперь подпространство векторного пространства V над полем К. Естественное отображение V на

может быть продолжено в линейное отображение пространства на пространство Как мы видели, ядром отображения является так что при переходе в фактор-пространство отображение определяет изоморфизм пространства на пространство Если на пространстве V определена структура алгебры и идеал этой алгебры, то непосредственно видно, что является изоморфизмом алгебры на алгебру Мы отождествим посредством изоморфизма

Пусть А — градуированная алгебра над полем ее группа степеней. Для обозначим через пространство однородных элементов степени алгебры А. Тогда алгебра прямая сумма подпространств А Кроме того, если элементы из то произведение всякого элемента х из на всякий элемент у из принадлежит пространству в этом легко убедиться, если представить элементы х и у в виде линейных комбинаций с коэффициентами из элементов из соответственно. Отсюда вытекает, что разложение определяет в алгебре градуировку, которую мы будем называть продолжением градуровки алгебры А Пусть линейное отображение алгебры А в градуированную алгебру В с той же группой степеней Если -однородное отображение степени то тем же свойством обладает линейное отображение алгебры в продолжающее отображение Это видно непосредственно.

Предложение 2. Пусть алгебры над полем -гомоморфизм алгебры А в алгебру линейное отображение пространства в пространство является гомоморфизмом. Пусть гомоморфизмы алгебры и косая деривация типа алгебры А в алгебру линейное отображение алгебры в алгебру продолжающее является косой деривацией типа

Билинейные отображения

и

произведения в пространство переводят и являются, следовательно, нулевыми отображениями, что и доказывает предложение 2.

Пусть некоторое множество, свободная ассоциативная алгебра множества над полем К. Алгебра содержит множество полугруппа, порожденная множеством в алгебре совпадает с полугруппой, порожденной этим множеством в и является, следовательно, свободной полугруппой. Кроме того, эта полугруппа образует базис алгебры Поэтому алгебру можно отождествить со свободной ассоциативной алгеброй множества над полем что мы и сделаем.

Пусть V — векторное пространство над полем Построим свободную ассоциатирную алгебру множества над полем Для элементов из V обозначим их сумму и разность в соответственно через и (через будем обозначать сумму и разность элементов в пространстве для обозначим через скалярное произведение элемента а на элемент скалярное произведение элемента а на элемент х в Пусть а — идеал, порожденный в алгебре элементами вида (для всех Тогда, как легко видеть, идеал, порожденный элементами для всех из и всех а из Отсюда следует, что если -тензорная алгебра над пространством V, то тензорная алгебра над пространством совпадает с алгеброй

Символом мы будем обозначать операцию умножения в алгебре (или в алгебре Пусть идеал, порожденный в элементами вида принадлежат пространству V), а с — идеал, порожденный элементами Тогда очевидно, что идеал, порожденный элементами в алгебре (для из С другой стороны, если элемент из (где базис поля над полем для то Но элементы принадлежат идеалу так же как и элементы (поскольку антиперестановочны во внешней алгебре над V). Отсюда вытекает, что идеал, порожденный в элемен

тами где Таким образом, если 5 и соответственно симметрическая и внешняя алгебры над V, то симметрическая алгебра над совпадает с алгеброй а внешняя — с алгеброй Кроме того, мы видим, что градуировки тензорной алгебры симметрической алгебры и внешней алгебры над пространством являются продолжением соответствующих градуировок алгебр и

Предложение 3. Пусть векторные пространства над полем К. Мы предположим, что поле К бесконечно, конечномерное пространство. Всякое рациональное отображение пространства V в пространство одним и только одним способом продолжается в рациональное отображение пространства в пространство [то, что продолжает следует здесь понимать так: отображение определено во всех точках в которых определено отображение и ]. Если полиномиальное отображение, то и полиномиальное отображение. Если у — точка пространства V, в которой отображение определено, любая точка из V, то

Рассмотрим сперва случай, когда так что Пусть и — поля рациональных функций над пространствами соответственно. Пусть алгебры полиномиальных функций над теми же пространствами, симметрическая алгебра над V — пространством, дуальным к симметрическая алгебра над пространством, дуальным к Мы определили выше изоморфизм на (на все пространство так как размерность пространства V конечна). Этот изоморфизм может быть продолжен в изоморфизм симметрической алгебры над на алгебру Если -линейная функция над V, то линейная функция над продолжающая отображение Отсюда мы непосредственно заключаем, что образ любого элемента из является некоторым элементом из алгебры продолжающим полиномиальную функцию Чтобы доказать, что

единственная полиномиальная функция над обладающая этим свойством, достаточно убедиться в том, что полиномиальная функция над тождественно равна нулю, если она равна нулю в пространстве Итак, пусть базис пространства К. Линейные функции над пространством продолжающие соответственно образуют базис для пространства и полиномиальная функция может быть представлена в виде где некоторый полином с коэффициентами из По предположению,

для Но для любых заданных элементов из К всегда можно найти точку для которой Отсюда следует, что полином равен нулю, когда все его аргументы принимают значения в поле К. Поэтому так как поле К бесконечно.

Изоморфизм кольца в кольцо продолжается в изоморфизм поля отношений кольца в поле отношений кольца Покажем, что если то продолжение Пусть у — точка пространства V, в которой определено отображение Можно положить где Имеем и известно, что и соответственно продолжают отображения Следовательно, » что и доказывает наше утверждение. Для доказательства однозначности продолжения достаточно показать, что если элемент из , определенный на алгебраически плотном подмножестве пространства V и принимающий во всех точках множества значение 0, то Представим в виде частного двух полиномиальных функций над пространством и пусть полиномиальная функция над пространством V, обращающаяся в нуль на дополнении к множеству Непосредственно видно, что полиномиальная функция над обращается в нуль во всех точках пространства V и поэтому равна нулю. Но так что т. е. Пусть элемент пространства V, и пусть деривация алгебры ,

продолжающая отображение пространства V в поле К. Ограничение отображения на множество может быть продолжено в деривацию алгебры определенный выще изоморфизм алгебры на алгебру относит этой деривации некоторую деривацию алгебры Для имеем так что В силу линейности отображения отсюда вытекает, что для всякой линейной функции над Существует одна и только одна деривация поля продолжающая мы обозначим ее также через Поле является полем отношений кольца так что для всех Пусть теперь элемент поля а у — точка, в которой отображение определено. По определению имеем

Так как деривация поля продолжающая отображение то

Предложение 3 доказано для случая Чтобы перейти к общему случаю, выберем базис пространства который будет, конечно, также базисом пространства Всякое рациональное отображение пространства V в пространство можно записать в виде где рацио нальные функции над Положим Если у — точка пространства V, в которой отображение определено, то в ней также определены и функции И Отсюда заключаем, что отображение определено в у и что

Пусть, наоборот, рациональное отображение пространства в пространство продолжающее отображение Если определено в некоторой точке у пространства V, то и функции и функции определены в точке у, причем

Но, как мы видели выше, две рациональные функции над пространством определенные на одном и том же алгебраически плотном подмножестве пространства V и равные на этом подмножестве, равны на всем пространстве поэтому для так что Пусть у — точка пространства V, в которой отображение определено, и пусть любая точка из Тогда

Предложение 3 полностью доказано.

Замечания. 1. Из нашегодоказательства следует, что два рациональных отображения пространства в пространство равные на некотором алгебраически плотном подмножестве пространства V, совпадают.

2. Предложение 3 остается справедливым, если отбросить предположение, что пространство V конечномерно; но доказательство в этом случае несколько усложняется. Этот более общий результат нам не понадобится.

3. При тех же обозначениях, что и в предложении 3, нетрудно убедиться, что отображение определено только в тех точках пространства V, в которых определено и отображение

Пусть V — векторное пространство над полем соответственно симметрическая и внешняя алгебры над эндоморфизм пространства Эндоморфизм X может быть продолжен в эндоморфизм пространства Унитарные эндоморфизмы алгебр и продолжающие эндоморфизм совпадают с продолжением на алгебры и унитарных эндоморфизмов алгебр продолжающих эндоморфизм Это непосредственно вытекает из предложения 2. Также легко убедиться, что деривации алгебр и продолжающие эндоморфизм являются продолжениями на алгебры и дериваций алгебр продолжающих эндоморфизм Обозначим через V пространство, дуальное через линейную функцию над V и через линейную

функцию над продолжающую Легко усмотреть, что отображение — переводит в линейную функцию, продолжающую функцию над пространством Пусть поля рациональных функций над пространствами соответственно (мы предполагаем, что поле К бесконечно). Для обозначим через рациональную функцию над продолжающую функцию Обозначим через деривации полей естественно соответствующие эндоморфизмам (определение 5 § 4). Из сказанного следует, что

Пусть естественный изоморфизм пространства в пространство Обозначим через внешнюю алгебру над V, через внешнюю алгебру над Изоморфизм может быть продолжен в изоморфизм алгебры на некоторую подалгебру алгебры этот продолженный изоморфизм мы будем называть естественным изоморфизмом алгебры в алгебру

Предложение 4. Пусть V — векторное пространство над полем дуальное к нему пространство, внешние алгебры над соответственно, внешняя алгебранад пространством дуальным к пространству естественный изоморфизм алгебры в алгебру Пусть и — элементы алгебр соответственно. Копроизведение элемента и на элемент и равняется копроизведению элемента (и на элемент и (во втором случае и рассматривается как элемент алгебры

Для любого элемента и алгебры через (и обозначим операцию коумножения на и в алгебре а через — линейное отображение алгебры в себя, продолжающее оператор Для из и для а из К, очевидно,

Обозначим через множество тех элементов и, для которых совпадает с операцией ко умножения на элемент в алгебре из сказанного следует, что подалгебра алгебры Эта подалгебра содержит 1, так как операция коумножения на единицу эквивалентна тождественному отображению. Пусть х — элемент из Тогда антидеривация алгебры следовательно, антидеривация алгебры (предложение 2). Кроме того, для . В силу линейности, заключаем, что (хотображает всякий на где линейная функция над пространством продолжающая х. Но так что Отсюда вытекает, что и предложение 4 доказано.