§ 3. Косые деривации

Напомним, что деривацией алгебры А называется линейное отображение алгебры А в себя, такое, что

для каждой пары элементов х и у из А. Мы обобщим это понятие следующим образом:

Определение 1. Пусть алгебры над одним и тем же полем, и пусть гомоморфизмы алгебры А в алгебру В. Косой деривацией типа алгебры А в алгебру В называется линейное отображение алгебры А в алгебру В, удовлетворяющее равенству

для любой пары элементов х, у из А. Если А — подалгебра алгебры В и если I обозначает тождественное отображение то косая деривация типа алгебры А в алгебру В называется деривацией

Согласно этому определению, понятие деривации алгебры А совпадает с понятием деривации алгебры А в алгебру А.

Как легко видеть, для заданных гомоморфизмов косые деривации типа алгебры А в алгебру В образуют подпространство векторного пространства всех линейных отображений алгебры А в алгебру В.

Предложение 1. Пусть —алгебры, гомоморфизм гомоморфизмы косая деривация типа алгебры В в алгебру гомоморфизм С в является тогда косой деривацией типа алгебры А в алгебру

Это предложение следует непосредственно из определения.

Предложение 2. Пусть гомоморфизмы некоторой алгебры А в некоторую алгебру косая деривация типа алгебры А в алгебру и — идеалы алгебр соответственно. Предположим, что операторы отображают идеал в идеал . Для обозначим через классы элементов соответственно, где некоторый представитель класса (элементы

конечно, не зависят от выбора представителя х в классе Отображение является тогда косой деривацией типа алгебры в алгебру

Это предложение вытекает непосредственно из определения.

Предложение 3. Пусть гомоморфизмы алгебры А в алгебру косая деривация типа алгебры А в алгебру подмножество алгебры и — соответственно подалгебра и идеал, порожденные множеством S в алгебре и — соответственно некоторая подалгебра и некоторый идеал алгебры В. Тогда

2) если принадлежат подалгебре

3) если принадлежат идеалу , то

Имеют место равенства

Из формулы (1) и из линейности отображения следует, что множество образует подалгебру алгебры Если эта подалгебра содержит множество то она содержит и подалгебру Множества очевидно, являются подалгебрами алгебры (в силу формулы если они содержат множество то они содержат, конечно, и подалгебру Формула (1) показывает, что элементы из образы которых при отображении принадлежат В, образуют подалгебру алгебры если эта подалгебра содержит 5, то она совпадает с Аналогично заключаем, что множества являются идеалами алгебры если эти идеалы содержат множество то они содержат и идеал 31. Обозначим через множество тех для которых Пусть и тогда из формулы (1) следует, что — правый идеал; аналогично, если то в силу формулы (1) множество является левым идеалом. Следовательно, — двусторонний идеал; если он содержит множество то он совпадает с идеалом .

Следствие. Пусть и - гомоморфизмы алгебры А в алгебру подмножество алгебры Каждая косая

деривация типа алгебры А в алгебру В, отображающая элементы множества в элемент 0, отображает также в О все элементы алгебры А, порожденной множеством две косые деривации типа алгебры А в алгебру В, совпадающие на множестве 5, совпадают также на алгебре А

Первое утверждение является частным случаем утверждения

1) предложения 3, второе утверждение вытекает из первого и из того факта, что разность двух косых дериваций одного и того же типа сама является, косой деривацией того же типа.

Предложение 4. Пусть —унитарные алгебры, унитарные гомоморфизмы алгебры А в алгебру косая деривация типа алгебры А в алгебру В. Тогда

Действительно,

откуда

Следствие. Пусть унитарные алгебры, унитарные гомоморфизмы алгебры А в алгебру косая деривация типа алгебры А в алгебру В. Пусть подмножество алгебры подалгебра алгебры порожденная 1 и элементами множества — подалгебра и — идеал алгебры В. Тогда 1) если то если то

3) всякая косая деривация типа алгебры А в алгебру В, совпадающая с косой деривацией на множестве 5, совпадает с на подалгебре если лежат в подалгебре содержится в В.

Пусть - подалгебра, порождаемая множеством 5; элементы подалгебры представимы тогда в форме где а — скаляр Из предложения 4 следует, что т. е. Следствие вытекает теперьиз предложения 3 и его следствия.

Предложение 5. Пусть - алгебра, эндоморфизмы, причем перестановочен с перестановочен с косая деривация типа алгебры А в себя, косая деривация типа алгебры А в себя. Тогда:

1) если перестановочна с одним из операторов ттиперестановочна с другим, то отображение является косой деривацией типа

2) если перестановочна с перестановочна с то оператор является косой деривацией типа

Для обозначим через операцию умножения слева на элемент, в алгебре отображение Тогда имеем

Отсюда

Положим сначала Если, например, перестановочна с эндоморфизмом и антиперестановочна с эндоморфизмом то

и, следовательно,

что как раз означает, что отображение является косой деривацией типа

Предположим теперь, что выполнено условие 2). Тогда

вычитая первую из вышестоящих формул из второй, получаем

что означает, что отображение косая деривация типа

Следствие. Если деривации алгебры А, то а отображение является деривацией.

Предложение 6. Пусть градуированные алгебры над одним и тем же полем с одной и той же группой степеней и пусть однородные гомоморфизмы степени алгебры А в алгебру В. Пусть множество однородных образующих алгебры А, и пусть косая

деривация типа алгебры А в алгебру В, удовлетворяющая следующему условию: если однородный элемент степени множества то однородный элемент степени где элемент группы не зависящий от х. Тогда отображение однородно степени

Для обозначим через пространство однородных элементов степени алгебры А, через пространство однородных элементов степени алгебры В и через пространство тех элементов для которых Пусть элементы группы элемент пространства элемент пространства Имеем

элемент содержится в пространстве следовательно, содержится в пространстве т. е. Отсюда заключаем, что сумма подпространств (для всех является подалгеброй алгебры А. Так как она содержит множество то она совпадает с алгеброй А, что и доказывает предложение 6.

Следствие. Заключение предложения 6 остается верным, если в случае унитарных алгебр и унитарных гомоморфизмов предположить, что множество является только системой почти-образующих алгебры А.

Это следует непосредственно из предложения 6, примененного к множеству, получаемому из добавлением элемента 1, и из того факта, что (предложение 4).

Определение Пусть А — градуированная алгебра с аддитивной группой целых чисел в качестве группы степеней. Пусть I — тождественное отображение алгебры А на себя, главная инволюция. Косая деривация типа алгебры А в себя называется антидеривацией алгебры А.

Антидеривация алгебры А — это линейное отображение алгебры А в себя, такое, что для любой пары элементов из А.

Предложение 7. Пусть А — градуированная алгебра с группой целых чисел в качестве группы степеней, и пусть однородная антидеривация нечетной степени

алгебры А. Оператор является тогда деривацией алгебры А. Если другая однородная антидеривация нечетной степени алгебры А, то однородная деривация четной степени алгебры А. Если же однородная деривация алгебры А четной степени, то является антидеривацией алгебры А.

Из предложения 5 следует, что если антидеривация антиперестановочна с главной инволюцией У, то является деривацией. Но если однородная антидеривация нечетной степени то Действительно, для однородного элемента х степени имеем

что и доказывает наше утверждение. Подобным же образом доказывается и более общее утверждение: всякая сумма однородных линейных отображений нечетной степени алгебры А в себя антиперестановочна с главной инволюцией У. Отсюда вытекает, что отображения являются деривациями; но тогда и отображение

— деривация. Подобным же образом можно убедиться, что всякое однородное линейное отображение четной степени алгебры А в себя перестановочно с главной инволюцией поэтому, согласно предложению 5, отображение оказывается антидеривацией.

Предложение 8. Пусть А — ассоциативная алгебра. Если то пусть отображение алгебры А в себя. Тогда деривация алгебры А. Если какая-нибудь деривация алгебры А, то для любой пары элементов х и у из А имеем

Пусть х, у и z - элементы алгебры А. Тогда

что доказывает первое утверждение. Если деривация алгебры то

Этим доказывается второе утверждение.

Предложение 9. Пусть алгебра Ли. Для каждого отображение алгебры в себя, определенное формулой , является деривацией алгебры Если любая деривация алгебры то в частности, для любой пары элементов х и у из справедливо равенство

Пусть - элементы алгебры Имеет место тождество Якоби

кроме того, для любых элементов алгебры имеем Отсюда легко следует тождество

которое показывает, что является деривацией. Если любая деривация алгебры то для элементов х и у из имеем

Предложение 10. Пусть ассоциативные алгебры, и -гомоморфизмы алгебры А в алгебру косая деривация типа алгебры А в алгебру В. Пусть элементы алгебры А. Элемент является тогда суммой произведений где получается из произведения заменой множителя элементом для элементом для и элементом для

Доказательство будем вести индукцией по Для предложение 10 очевидно. Предположим, что оно уже доказано для какого-то значения и пусть элементы алгебры А. Тогда

что доказывает предложение 10 для

Следствие. Пусть ассоциативная унитарная алгебра над полем подалгебра алгебры В, такая, и пусть деривация Пусть -элемент алгебры такой, что перестановочен с х. Если — полином с коэффициентами из поля — производная полинома

Согласно предложению 4, это утверждение справедливо для случая полинома сводящегося к постоянной. Так как линейное отображение, то наше утверждение достаточно доказать для Но для этого случая оно непосредственно следует из предложения 10.

Предложение 11. Пусть ассоциативные алгебры, система образующих алгебры гомоморфизмы алгебры А в алгебру линейное отображение алгебры А в алгебру В. Для того чтобы было косой деривацией типа алгебры А в алгебру В, достаточно, чтобы равенство

выполнялось для всех

Для обозначим через операцию умножения слева на элемент х в алгебре а для через умножение слева на элемент и в алгебре В. Пусть А — совокупность всех элементов таких, что

Ясно, что А — векторное подпространство алгебры Мы покажем, что подалгебра; так как, согласно нашему условию, то из этого будет следовать, что и предложение 11 будет тем самым доказано. Пусть х и у — элементы пространства Так как алгебра ассоциативна, то так что

Поскольку является гомоморфизмом, откуда

Так как алгебра В ассоциативна, то операция умножения слева на элемент

Тем самым показано, что и предложение 11 доказано.

Следствие. Пусть векторное пространство, тензорная алгебра над унитарные гомоморфизмы алгебры в себя и линейное отображение пространства в алгебру Тогда существует косая деривация типа алгебры в себя, продолжающая отображение и притом только одна.

Для обозначим через операцию умножения слева на элемент в алгебре и через отображение алгебры в себя. Из леммы 1 § 1 следует существование одного и только Одного линейного отображения алгебры в себя, для которого имеет место равенство

при каждом означает здесь умножение слева на элемент кроме того, Если то имеем

что показывает, что отображение продолжает отображение Равенство

имеет место для оно, очевидно, также справедливо для Из предложения 11 следует, что отображение является косой деривацией типа Единственность деривации вытекает из следствия предложения 4.