§ 4. Рациональные функции

Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, и пусть а — соответствующий ей идеал алгебры . Функции, определенные на со значениями в поле которые являются ограничениями на множество полиномиальных функций над пространством , мы будем называть полиномиальными функциями на Они, очевидно, образуют кольцо, изоморфное фактор-кольцу с которым мы его и отождествим, отождествив каждый класс кольца а с функцией на индуцированной любым представителем этого класса. Кольцо полиномиальных функций на группе мы обозначим через Это кольцо является также алгеброй над К.

Предложение 1. Пусть конечномерные пространства над одним и тем же полем К. Пусть алгебраические группы автоморфизмов пространств соответственно. Тогда существует изоморфизм тензорного произведения алгебр полиномиальных функций соответственно над группами на алгебру который отображает элемент в функцию

При доказательстве этого предложения мы будем пользоваться обозначениями леммы 2 из § 1, заменив только множества группами соответственно. Кольцо можно, очевидно, отождествить с фактор-кольцом (при этом можно использовать рассмотрения, предшествующие формулировке леммы 2). С другой стороны, алгебра была отождествлена с а идеал Теперь можно воспользоваться одним предложением Бурбаки (Алгебра, гл. III, § предложение 1), устанавливающим изоморфизм алгебры т. е. алгебры на алгебру т. е. на Легко убедиться, что этот изоморфизм обладает требуемыми свойствами.

В случае, когда неприводимая группа, кольцо не имеет отличных от делителей нуля и может быть, следовательно, погружено в поле отношений Нижеследующим образом

каждому элементу из мы сопоставим отображение некоторого подмножества группы в поле К. Пусть элемент группы мы будем говорить, что элемент определен в точке если он представим в виде где —элементы из В этом случае элемент не зависит от выбранного представления элемента Действительно, если где элементы из то так что

Элемент мы будем называть значением элемента в точке и обозначать Отображение некоторого подмножества группы в поле К будем называть рациональной функцией на группе если существует элемент такой, что является совокупностью точек, на которых элемент определен, и для всех Как мы скоро докажем, в этом случае определен однозначно.

Определение 1. Подмножество А неприводимой группы мы будем называть областью единственности, если всякая полиномиальная функция на равная нулю на множестве А, тождественно равна нулю на всей группе мы будем говорить, что подмножество группы алгебраически плотно, если существует полиномиальная функция на не равная тождественно нулю, но обращающаяся в нуль во всех точках дополнения к

Пересечение конечного числа алгебраически плотных подмножеств группы само алгебраически плотно (доказательство такое же, как доказательство леммы 2 § 4 гл. I). Пересечение алгебраически плотного подмножества и области единственности А является областью единственности. Действительно, пусть полиномиальная функция на обращающаяся в нуль на дополнении к и пусть -полиномиальная функция, равная нулю на Функция равна тождественно нулю на так что Так как кольцо без делителей нуля, то Последнее утверждение показывает, что всякое алгебраически плотное подмножество группы является областью единственности. Множество точек группы на котором определен некоторый элемент очевидно, алгебраически плотно. Отсюда заключаем, что если А — область единственности, -элементы из

то совокупность всех точек из на которых все элементы определены, образует область единственности.

Если два элемента из принимают одинаковые значения во всех точках некоторой области единственности на которой они оба определены, то Действительно, положим где полиномиальные функции на конечно, Тогда функция обращается в нуль на и поэтому равна нулю, так что и

Из сказанного вытекает, что между элементами поля и рациональными функциями на группе определяемыми этими элементами, существует взаимно однозначное соответствие. В дальнейшем мы отождествим поле с множеством рациональных функций на группе и будем называть полем рациональных функций на

Непосредственно видно, что если — любой элемент группы то множество рациональных функций, определенных в точке 5, является подкольцом поля

Пусть рациональная функция над пространством Предположим, что определена в точке Тогда множество точек из в которых определена функция алгебраически плотно, и существует одна и только одна рациональная функция на которая определена на множестве и совпадает на этом множестве с функцией Действительно, положим где принадлежат Пусть функции, индуцированные функциями на тогда так что Рациональная функция определена на множестве всех точек из в которых функция не равна нулю, и для всех Имеет место включение которое показывает, что множество алгебраически плотно. Для любой точки из аналогичным образом можно убедиться, что существует алгебраически плотное подмножество группы содержащее точку и рациональная функция на определенная на множестве и принимающая во всех точках этого множества те же значения, что и функция Во всех точках 5 множества имеет место равенство так как пересечение алгебраически плотно, то Отсюда следует, что функция определена во всех точках множества и принимает в них те же

значения, что и функция очевидно, существует только одна рациональная функция на удовлетворяющая этому условию. Важно отметить, что функция может быть определена в точках группы в которых функция не определена. Так, например, может случиться, что между тем как функция не определена во всех точках группы Мы будем называть функцию следом на группе рациональной функции на Если — рациональные функции над пространством которые одновременно определены по крайней мере в одной общей точке группы и если — следы этих функций на группе то следами на группе функций и (в случае соответственно будут Предположим теперь, что нам дана рациональная функция на группе и пусть точка группы в которой функция определена. Тогда существует рациональная функция на определенная в для которой функция является следом. Действительно, представим функцию в виде где полиномиальные функции на Пусть полиномиальные функции на для которых являются ограничениями на Функция обладает требуемыми свойствами.

Пусть опять неприводимая группа и а — соответствующий ей идеал. Если — элемент группы то автоморфизм кольца отображает идеал а на себя и определяет (при переходе в фактор-кольцо) автоморфизм алгебры который мы опять обозначим через Этот автоморфизм продолжается однозначным образом в автоморфизм поля рациональных функций на и этот продолженный автоморфизм мы обозначим через Если то для того, чтобы функция была определена в точке группы достаточно чтобы функция была определена в точке и тогда Легко видеть, что для элементов группы выполняются равенства

Предложение 2. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем и пусть неприводимые алгебраические группы автоморфизмов пространств

V и V соответственно. Пусть поля рациональных функций соответственно на группах Тогда существует изоморфизм тензорного произведения полей сматриваемых как алгебры над полем на некоторое подкольцо поля обладающий следующими свойствами:

1) является полем отношений кольца

2) если и если точка группы такая, определена в точке точке то функция определена в точке и принимает в ней значение

Мы будем пользоваться обозначениями предложения 1. Из этого предложения следует существование изоморфизма алгебры на при котором является функцией для и Так как содержится в поле то это кольцо не имеет нетривиальных делителей нуля. Следовательно, и кольцо без делителей нуля. Ясно, что подкольцо кольца и что содержится в поле отношений кольца Следовательно, изоморфизм можно продолжить в изоморфизм кольца на некоторое подкольцо поля Предположим теперь, что и что функция определена в точке точке Положим где принадлежат принадлежат Тогда

принимает значение в точке Отсюда следует, что функция определена в точке и так как в точке функция принимает значение то принимает в ней значение

Пусть теперь векторное пространство над основным полем К пространства Пусть неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства поле рациональных функций на тензорное произведение векторных пространств над К. Каждому элементу мы сопоставим нижеследующим образом отображение некоторого подмножества группы в пространство Для пусть множество рациональных функций на ,

определенных в точке мы будем говорить, что функция определена в точке если она принадлежит Отображение а — билинейное отображение произведения оно определяет линейное отображение пространства Если элемент определен в точке то его образ при этом отображении мы обозначим через и будем говорить, что значение элемента в точке 5. Отображение некоторого подмножества группы в пространство мы будем называть рациональным отображением, если существует элемент такой, что состоит из всех точек 5 группы в которых элемент определен, и для всех

Лемма 1. Множество точек группы на котором определен некоторый заданный элемент из алгебраически плотно.

Действительно, можно представить в виде конечной суммы где ясно, что элемент определен во всех точках группы в которых одновременно определены все функции

Лемма 2. Пусть - область единственности группы и пусть элементы из такие, что во всех точках множества на котором одновременно определены отображения Тогда

Множество точек группы в которых определены одновременно является пересечением двух алгебраически плотных подмножеств (лемма 1), и поэтому само алгебраически плотно. Отсюда следует, что А — область единственности (как было показано выше). Пусть базис пространства положим

где рациональные функции на Для каждого функции определены во всех точках и принимают в них одинаковые значения, так что следовательно,

Мы видим, что между элементами пространства и определяемыми ими рациональными отображениями группы О

в пространство имеется взаимно однозначное соответствие. В дальнейшем мы будем отождествлять множество с множеством рациональных отображений группы в пространство .

Пусть рациональное отображение пространства в пространство определенное по крайней мере в одной точке, группы Множество точек группы в которых определено алгебраически плотно, и существует одно и только одно рациональное отображение группы определенное во всех точках множества и принимающее в них те же значения, что и Действительно, пусть базис пространства Положим где рациональные функции на Существует точка группы в которой определены все функции Для каждого обозначим через след функции на группе и пусть — множество всех точек группы в которых функция определена. Тогда Но только для конечного числа индексов а если то Отсюда следует, что множество алгебраически, плотно. Положим отображение определено и совпадает с во всех точках множества Так как К алгебраически плотно, то этими условиями отображение однозначно определено.

Определение 2. Пусть неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, и пусть рациональное отображение пространства в пространство над полем Предположим, что определено по крайней мере в одной точке группы Рациональное отображение группы в пространство , определенное во всех точках группы в которых определено отображение и совпадающее в этих точках с называется следом отображения на группе

Для того чтобы отображение было следом отображения очевидно, достаточно, чтобы существовала область единственности А в группе такая, что во всех точках в которых одновременно определены

Если следы рациональных отображений пространства 6 в пространство и если элементы поля К, то след отображения Если рациональное отображение группы в пространство и — точка из в которой отображение определено, то существует рациональное отображение пространства определенное в точке для которого отображение является следом. Это утверждение легко вытекает из аналогичного утверждения относительно рациональных функций.

Заметим, что пространство можно рассматривать как векторное пространство над полем (это векторное пространство над полем получающееся из пространства расширением основного поля). Если и то можно, следовательно, говорить о произведении рациональной функции 5 на рациональное отображение Для всех точек группы которых одновременно определены имеет место равенство Если — след на рациональной функции на след на рационального отображения пространства 6 в пространство то след на отображения

Предположим теперь, что пространство эндоморфизмов конечномерного векторного пространства над полем К. На пространстве определена тогда структура ассоциативной алгебры над полем структура ассоциативной алгебры определена тогда также и на пространстве которое является тензорным произведением двух ассоциативных алгебр над полем В этом случае мы можем говорить о произведении двух рациональных отображений группы в пространство Легко убедиться, что если — точка группы в которой одновременно определены то и произведение определено в точке и принимает в ней значение В то же время произведение может быть определено в точках, в которых отображения не определены одновременно.

Предположим опять, что пространство эндоморфизмов пространства и пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства Будем называть рациональным отображением группы в группу рациональное отображение группы такое, что для всех точек в которых отображение определено. Предположим, что группа неприводима. Пусть рациональное отображение группы в группу рациональное отображение группы

в векторное пространство над К. Если множество точек таких, что определено в не пусто, алгебраически плотное подмножество группы и существует одно и только одно отображение группы в пространство такое, для всех Действительно, пусть точка из Существует рациональное отображение пространства 6 в определенное в точке и такое, что является следом отображения на О, и существует рациональное отображение пространства определенное в точке следом которого на группе И является отображение 5. Но тогда существует и композиция обладающая следом на как она определена в точке Можно найти полиномиальную функцию на 6, не равную нулю в точке такую, что если для то отображения одновременно определены (гл. 1, § 4, лемма 6). Множество точек для которых алгебраически плотно, и для имеем

Мы видим, для заданной точки существуют алгебраически плотное подмножество группы О, содержащееся в и содержащее точку и рациональное отображение группы такие, что

для всех Из леммы 2 следует, что все отображения совпадают друг с другом, что и доказывает наше утверждение. Если множество непусто, то мы будем говорить, что композиция отображений существует и равняется и писать Ясно, что композиция существует, если 5 определено во всех точках группы а также если образ при отображении является областью единственности в (так как пересечение области единственности и алгебраически плотного подмножества никогда непусто).

Если неприводимая алгебраическая группа, то рациональное отображение группы в себя, определенное на всей группе

Действительно, пусть система координатных функций на Обозначим через определитель элемента -полиномиальная функция над , не равная ни в одной

точке группы О, и функции полиномиальные функции. Это доказывает наше утверждение.

Пусть рациональное отображение группы в векторное пространство Выполняя последовательно отображения и мы получаем новое рациональное отображение группы Отображение определено в точке если определено в точке и Мы можем вновь применить ту же операцию к отображению при этом мы получим рациональное отображение, определенное в тех же точках, что и и принимающее в них те же значения, т. е. это новое отображение совпадает с Отсюда мы заключаем, что область определения отображения состоит как раз из обратных элементов области определения отображения

Пусть точка группы Построим композицию (очевидно, рационального) отображения группы на себя и некоторого данного рационального отображения группы в векторное пространство Обозначим эту композицию через Если такая точка группы О, что определено в точке то определена в точке и принимает в ней значение Отображение можно определить и иным образом. Несколько выше мы сопоставили элементу автоморфизм поля рациональных функций на Пространством рациональных отображений группы в пространство является тензорное произведение Определим линейное отображение этого пространства в себя как тензорное произведение отображения поля в себя и тождественного отображения пространства это линейное отображение мы вновь обозначим через Тогда оказывается, что Действительно, запишем в виде где а — линейно независимые элементы из тогда

Если отображение определено в точке то в ней также определены функции 7; тогда функция определена в точке и принимает в ней значение Это показывает, что определено в точке и принимает в ней значение так что Отображения пространства в себя, как легко видеть, удовлетворяют условиям

из В частности, отсюда вытекает, что для того, чтобы было определено в точке не только достаточно, но и необходимо, чтобы отображение было определено в точке

Если неприводимая группа, то рациональное отображение группы в группу Действительно, если система координатных функций для то координаты элемента могут быть выражены в виде полиномов от координат элементов Последовательно применяя отображение и некоторое заданное отображение группы О в пространство мы получаем рациональное отображение группы в Если такая точка группы что отображение определено в точке то определено в точке Обратно, если определено в то определено в Действительно, построим композицию (рационального) отображения группы в и отображения В результате получим рациональное отображение группы в пространство Если такой элемент группы что определено в точке то определено в точке и принимает в ней значение так что другой стороны, определено в точке как было показано выше, отсюда следует, что определено в точке

Лемма 3. Пусть алгебраически плотное подмножество (соответственно область единственности) неприводимой алгебраической группы Если то алгебраически плотное подмножество область единственности) группы. Множество обратных элементов множества также алгебраически плотное подмножество область единственности) в

Если алгебраически плотное подмножество, то пусть полиномиальная функция обращающаяся в нуль на дополнении множества Функция равна нулю на дополнении к множеству очевидно, Применив последовательно отображение группы на себя и отображение мы получим рациональную всюду определенную функцию равную нулю на дополнении к кроме того, Множество содержит множество точек, в которых определена функция что и показывает, что алгебраически плотно. Предположим теперь, что

Е—область единственности. Пусть полиномиальная функция, равная нулю на множестве тогда функция, равная нулю на так что и Если полиномиальная функция, обращающаяся в нуль на то последовательное применение отображения определяет рациональную функцию равную нулю на так что Q = 0 (лемма 2) и, следовательно,

Лемма 4. Пусть алгебраически плотное подмножество неприводимой алгебраической группы Тогда каждый элемент из представим в виде произведения двух элементов из

Пусть элемент из Множество алгебраически плотно (лемма 3) и имеет поэтому общий элемент с множеством Тогда для некоторого имеем так что

Лемма 5. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем К. Пусть неприводимые алгебраические группы автоморфизмов пространств соответственно. Пусть алгебраически плотные подмножества (соответственно области единственности) групп соответственно. Тогда -алгебраически плотное подмножество (соответственно область единственности) группы

Предположим, что алгебраически плотные подмножества; пусть полиномиальные функции на обращающиеся в нуль на дополнениях множеств в соответственно. Тогда полиномиальная функция на равная нулю на дополнении множества Предположим теперь, что области единственности. Пусть полиномиальная функция на равная нулю на При полиномиальная функция на тождественно равна нулю на т. е. является нулевой функцией. Следовательно, для полиномиальная функция на обращается в нуль на значит, всюду. Отсюда заключаем, что и что область единственности.

Лемма 6. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем и пусть неприводимые

алгебраические, группы автоморфизмов пространств соответственно. Отображения и группы в группы соответственно — рациональные отображения. Пусть рациональные отображения групп в пространства над полем К. Тогда существует одно и только одно отображение группы в пространство определенное и принимающее значение во всякой точке такой, что определено в

Из предложения 1 следует, что для полиномиальной функции на функция есть полиномиальная функция на Отсюда мы заключаем, что рациональное отображение, и аналогично убеждаемся, что отображение рационально. Наконец, рациональным является также отображение и пространства в Выполняя последовательно отображения группы в группу отображение и отображение пространства мы получаем рациональное отображение группы в пространство причем если определено в точке то 5 определено в точке и принимает в ней значение Аналогично строится рациональное отображение группы в пространство определенное в точках для которых определено в и принимающее в них значение ( Рациональное отображение обладает требуемыми свойствами. Единственность этого отображения следует непосредственно из лемм 2 и 5.

При тех же обозначениях, что в лемме отображение 5 называется декартовым произведением отображений и обозначается через

Определение 3. Пусть конечномерное векторное пространство над полем пространство эндоморфизмов пространства неприводимая алгебраическая группа автоморфизмов пространства рациональное отображение группы в пространство Мы будем называть отображение рациональным представлением группы если выполнены следующие условия: определено во всех точках группы для каждого есть обратимый эндоморфизм пространства для из имеет место равенство

Лемма 7. При тех же обозначениях, что а в определении 3, предположим, что выполнено одно из двух следующих условий:

I. Существует алгебраически плотное подмножество группы со следующими свойствами: отображение определено на для элемент обратим; для из выполняется условие

II. Существует область единственности А в группе со следующими свойствами: А — подгруппа группы отображение определено на для — обратимый эндоморфизму для из А.

Тогда рациональное представление.

Построим три композиции рациональных отображений группы в пространство §, выполняя последовательно сначала одно из отображений группы в группу а затем отображение Обозначим эти композиции рациональных отображений соответственно через Предположим сначала, что выполняется условие Подмножества множества алгебраически плотны (лемма 5). Плотным является также множество В точек для которых Действительно, если полиномиальная функция отличная от на равняется нулю дополнении множества то полиномиальная функция на не равна нулю и обращается в нуль дополнении множества В. Отсюда можно заключить, что множество алгебраически плотно. Для отображения определены в точке и Отсюда следует, что рациональные отображения группы в пространство совпадают (лемма 2), так что отображение определено на множестве где множество точек, в которых определено отображение Но, как нам известно, если определено в точке то определено в точке Отсюда сдедует, что произведение двух элементов из в свою очередь принадлежит так что (лемма 4). Формула показывает, что для всех и из Таким образом, произведение двух элементов из где множество элементов для которых эндоморфизм обратим, опять принадлежит так что Этим доказано, что рациональное представление. Предположим теперь, что выполнено условие II. Отображения определены во всех точках

множества и принимают в них одинаковые значения. Но область единственности группы (лемма 5), и, следовательно, отображения совпадают. Как и в первой части доказательства, отсюда мы заключаем, что отображение определено всюду и что Для всех Для имеем единица группы Так как обратимо, то и обратимый эндоморфизм. Таким образом, обратимый элемент и рациональное представление.

Определение 4. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, и пусть алгебраическая компонента единицы группы Пусть конечномерное векторное пространство над полем К. Гомоморфизм группы в группу автоморфизмов пространства называется рациональным представлением группы если ограничение отображения на является рациональным представлением группы

Предложение 3. Пусть рациональное представление алгебраической группы О автоморфизмов пространства V автоморфизмами конечномерного векторного пространства над полем и пусть -алгебраическая группа автоморфизмов пространства Тогда множество элементов из таких, что является алгебраической подгруппой группы

Следствие предложения 3 § 3 показывает, что можно ограничиться рассмотрением случая, когда неприводимая группа. Обозначим через наименьшую алгебраическую группу автоморфизмов пространства V, содержащую группу и пусть элемент из №. Пусть -полиномиальная функция над пространством эндоморфизмов пространства обращающаяся в нуль на группе тогда является некоторой рациональной функцией определенной на всей группе и равной нулю на Имеем и ограничение отображения на рациональная функция на Множество является,

очевидно, областью единственности группы ; следовательно, ограничение функции на тождественно равно нулю, так что Так как это свойство имеет место для всех полиномиальных функций обращающихся в нуль на то Следовательно,

Определение 5. Пусть рациональное представление алгебраической группы автоморфизмов пространства V автоморфизмами конечномерного пространства над полем К, и пусть пространство эндоморфизмов пространства Множество точек из называется графиком представления

Предложение 4. При тех же обозначениях, что и в определении 5, множество является алгебраической группой автоморфизмов пространства и отображение рациональное представление группы мы обозначим его через

Легко убедиться, что группа, содержащая в качестве подгруппы конечного индекса образ алгебраической компоненты единицы группы О при отображении В силу предложения 3 § 3 мы можем ограничиться рассмотрением случая неприводимой группы О. Наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства содержащая группу очевидно, содержится в Пусть точка группы Если -полиномиальная функция на 6, равная нулю на то полиномиальная функция, равная нулю на следовательно, на группе Таким образом, так как алгебраическая группа, то Пусть теперь линейная функция на Функция рациональная функция на определенная на всей группе. Мы можем ее представить в виде где ограничения на полиномиальных функций на 6 и где Отображение очевидно, является полиномиальной функцией на обращающейся в нуль на Следовательно, так что Так как это свойство имеет место для всех линейных функций над то так что Это показывает, что алгебраическая группа. Если для положить и если линейная функция на то отображение

рациональная функция на группе Действительно, мы можем положить где композиция отображения и линейной функции на а составлена из отображения и некоторой линейной функции на Наше утверждение следует теперь из того факта, что рациональные функции на Отсюда непосредственно вытекает, что рациональное представление группы

Определение 6. При таких же обозначениях, как в формулировке предложения 4, рациональное представление называется увеличенным представлением для представления