§ 1. Определение алгебраической группы

Определение 1. Пусть подгруппа группы всех автоморфизмов векторного пространства Группа называется алгебраической группой, если существует множество полиномиальных функций над пространством 6, такое, что состоит из всех автоморфизмов пространства V, удовлетворяющих условию для всех Множество называется определяющим множеством группы

Примеры. 1. Множество всех автоморфизмов пространства V является алгебраической группой.

2. Пусть эндоморфизм пространства группа всех автоморфизмов пространства V, перестановочных с Тогда алгебраическая группа. Действительно, пусть система координатных функций на пространстве . Отображения являются линейными отображениями пространства 6 в поле состоит из всех обратимых автоморфизмов удовлетворяющих условиям

3. Пусть два подпространства пространства V, причем Рассмотрим группу автоморфизмов 5 пространства V, для которых при всех Эта группа — алгебраическая. Действительно, выберем такой базис пространства V, что

— базис пространства - базис пространства целые числа, причем . К группе принадлежат те и только те автоморфизмы из пространства 6, которые удовлетворяют следующим условиям:

4. Пусть элемент алгебры . Q называется инвариантом элемента из если выполняется равенство для всех мы будем говорить, что инвариант некоторого подмножества пространства если он является инвариантом всех элементов этого подмножества. Совокупность автоморфизмов пространства V, для которых инвариант, является алгебраической группой. Это следует непосредственно из того, что для всех отображение

есть полиномиальная функция.

5. Подобным же образом мы будем называть полиномиальную функцию над пространством V инвариантом автоморфизма если она удовлетворяет условию для всех Полиномиальная функция называется инвариантом некоторого множества автоморфизмов пространства V, если она — инвариант каждого элемента этого множества. Множество автоморфизмов пространства V, для которых функция -инвариант, является алгебраической группой.

6. Пересечение алгебраических групп само является алгебраической группой. Действительно, если — определяющее множество группы то множество состоит из всех автоморфизмов пространства V, для которых при всех В частности, если -некоторое множество автоморфизмов пространства V, то существует наименьшая алгебраическая группа, содержащая а именно пересечение всех алгебраических групп, содержащих

7. Пусть V — векторное пространство размерности 2 над полем вещественных чисел, и пусть базис пространства Пусть иррациональное число. Множество эндоморфизмов пространства V, представимых (в базисе матрицами вида

где вещественное число есть группа Ли, но эта группа не является алгебраической группой.

Множество всех полиномиальных функций над пространством равных нулю на некотором заданном подмножестве пространства очевидно, является идеалом алгебры

Определение 2. Идеал, состоящий из всех полиномиальных функций, равных нулю на подмножестве пространства 6, будем называть идеалом, соответствующим множеству

Очевидно, что идеал, соответствующий алгебраической группе, является определяющим множеством этой группы.

Определение 3. Пусть элемент пространства Если полиномиальная функция, то через мы обозначим функцию

Совершенно ясно, что -полиномиальное отображение пространства в поле получающееся в результате последовательного выполнения линейного отображения пространства 6 в себя и отображения (ср. гл. I, § 4). Очевидно, является эндоморфизмом алгебры Если и эндоморфизмы пространства V, то

Кроме того, если тождественный эндоморфизм пространства V на себя, то тождественный эндоморфизм алгебры Отсюда следует, что для обратимого эндоморфизма имеет место равенство

Лемма 1. Пусть а — векторное подпространство алгебры и пусть обратимый элемент из такой, что отображает пространство а в тогда отображает пространство а на себя.

Алгебра является симметрической алгеброй над пространством дуальным к пространству и обладает градуировкой, для которой однородные элементы степени суть линейные комбинации произведений из элементов пространства Очевидно, что отображает пространство 6 в себя и поэтому является однородным отображением степени алгебры в себя. Обозначим через пространство однородных элементов степени пространства , а через пространство 2 Так как пространство V конечномерно, то конечномерно и пространство Отображение переводит, очевидно, пространство в себя. Так как отображение обратимо, то никакой элемент из не равный нулю, не переходит в 0. Так как размерность пространства конечна, то оно отображается при на себя.

Лемма 1 вытекает теперь из того, что пространство а является объединением пространств

Пусть V — конечномерное векторное пространство над тем же полем , что Обозначим через пространство эндоморфизмов пространства V, а через пространство эндоморфизмов пространства Каждому элементу произведения сопоставим элемент из отображающий элемент в [для всех ]. Таким образом мы получаем изоморфизм векторного пространства на некоторое подпространство пространства мы отождеспвим пространство с его образом в пространстве при этом изоморфизме. Для из из очевидно, имеет место равенство Отсюда следует, что если группы автоморфизмов соответственно пространств то группа автоморфизмов пространства .

Обозначим через кольца полиномиальных функций над пространствами соответственно, а через -кольцо полиномиальных функций над Ограничение на некоторого элемента из будет, конечно, элементом алгебры и каждый элемент из может быть получен таким образом. Как мы видим, существует естественный изоморфизм кольца на фактор-кольцо где — идеал полиномиальных функций над пространством равных нулю на произведении (Этот идеал порождается линейными функциями ,

равными нулю на Всякий идеал кольца можно представить в виде где некоторый идеал алгебры если идеал алгебры соответствующий некоторому подмножеству пространства то — идеал в соответствующий тому же подмножеству. Множество всех точек пространства , в котором все элементы идеала равны нулю, совпадает с множеством всех элементов пространства для которых равны нулю все элементы идеала

Заметим, что существует изоморфизм тензорного произведения алгебр на алгебру сопоставляющий всякому элементу вида отображение (ср. гл. I, § 4, предложение 8). Мы отождествим алгебру с алгеброй при помощи этого изоморфизма.

Лемма 2. Пусть V — конечномерное векторное пространство над тем же основным полем что и пространство пространство эндоморфизмов пространства и алгебры полиномиальных функций над пространствами и соответственно. Пусть, далее, -подмножество пространства -подмножество в -соответствующие им идеалы в алгебрах и Подмножеству пространства соответствует тогда в алгебре идеал

Если при этом являются множествами всех точек, в которых равну нулю все функции из идеалов и а соответственно, то множество всех точек, в которых равны нулю все функции из

Выберем базис В пространства содержащий базис А пространства а, и пусть -дополнение множества А в множестве В. Тогда всякая полиномиальная функция над пространством представима в виде

где различные элементы множества различные элементы множества

элементы из Для имеем

Предположим теперь, что функция равна нулю на множестве Если то для каждого так что

Но так как элементы линейно независимы то отсюда следует, что

Так как последнее утверждение верно для всех то элементы принадлежат идеалу а. Это показывает, что . С другой стороны, очевидно, что все элементы из обращаются в нуль на множестве

Предположим теперь, что все точки из , в которых равны нулю все функции из а, содержатся в и что все точки из в которых равны нулю все функции из а, находятся в Е. Пусть теперь точка пространства в которой равны нулю все функции из Тогда, если то

если

Отсюда следует, что Лемма 2 доказана.

Предложение 1. Пусть конечномерные векторные пространства над одним и тем же полем алгебраическая группа автоморфизмов пространства алгебраическая группа автоморфизмов пространства V Тогда группа алгебраическая группа автоморфизмов пространства

Это предложение непосредственно вытекает из леммы 2.

Рассмотрим теперь случай Отображение пространства в пространство является полиномиальным отображением. Действительно, если выбрать координатные функции для пространства то элементы

можно представить в виде билинейных функций координат элементов Отсюда можно заключить, что для отображение полиномиальная функция над пространством

Предложение 2. Пусть множество автоморфизмов пространства V, содержащее вместе с любыми двумя элементами их произведение. Если элемент из идеала а, соответствующего множеству то имеет место следующее тождество:

где элементы из принадлежат идеалу а. Множество всех автоморфизмов пространства V, таких, что для всех является алгебраической группой, для которой а — соответствующий идеал. Для того чтобы автоморфизм пространства V принадлежал группе необходимо и достаточно, чтобы оператор отображал идеал а в себя.

Для полиномиальная функция определенная на пространстве обращается в нуль на множестве согласно лемме 2, принадлежит идеялу , что доказывает первое утверждение предложения. Пусть — элемент множества Тогда и из нашего тождества следует, что оператор отображает идеал а в себя. Таким образом, если то существует элемент для которого при всех силу леммы отображает идеал а на себя.) Пусть -тождественный автоморфизм пространства V, тогда так что все функции из а равны нулю в точке Пусть, наоборот, автоморфизм пространства V, такой, что отображает идеал а в себя. Тогда для всех так что Но совершенно очевидно, что множество всех автоморфизмов 5 пространства V, для которых отображает идеал а на себя, есть группа, так что алгебраическая группа. Так как группа содержит множество то ей соответствует идеал а.