§ 5. Внешние алгебры

Пусть V — векторное пространство, а -тензорная алгебра над Пусть идеал, порожденный в алгебре элементами вида для всех и пусть фактор-алгебра Элементы однородны степени 2 в градуированной алгебре отсюда следует, что естественное отображение алгебры на алгебру индуцирует изоморфизм векторного пространства V на некоторое подпространство алгебры (следствие предложения 3 из § 2). Мы отождествим элементы пространства V с их образами в алгебре После такого отождествления алгебра называется внешней алгеброй над Это, очевидно, ассоциативная унитарная алгебра, для которой пространство V является системой почти-образующих. Отсюда уже следует, что и каждый базис пространства V оказывается системой почти-образуюших алгебры Квадраты всех элементов пространства V в алгебре равны нулю. Так как — однородный идеал алгебры Т(предложение 2 из § 2), то градуировка

алгебры индуцирует градуировку во внешней алгебре Е. Группой степеней градуированной алгебры является аддитивная группа целых чисел; элементы степени равны нулю; элементы степени -скаляры алгебры элементы степени 1 — элементы пространства

Если нам придется рассматривать одновременно умножение элементов пространства V как в алгебре так и в алгебре то (чтобы избежать недоразумений) мы будем употреблять знак для обозначения умножения в алгебре

Предложение 1. Пусть V — векторное пространство, внешняя алгебра над линейное отображение пространства V в ассоциативную унитарную алгебру А, для которого при каждом Тогда существует один и только один унитарный гомоморфизм алгебры в алгебру А, продолжающий отображение множество является системой почти-образующих алгебры

Это непосредственно следует из теоремы 1 § 1.

Унитарный гомоморфизм называется естественным продолжением отображения на алгебру

В частности, всякий эндоморфизм X пространства V может быть естественным образом продолжен в унитарный эндоморфизм X алгебры Для всякого целого однородными элементами степени алгебры являются линейные комбинации произведений из элементов пространства V (ср. § 2); отсюда мы непосредственно заключаем, что отображение X однородно степени 0. Если -эндоморфизмы пространства V, а —их естественные продолжения на алгебру то унитарный эндоморфизм алгебры продолжающий эндоморфизм пространства он является, следовательно, естественным продолжением эндоморфизма на алгебру Естественным продолжением тождественного эндоморфизма пространства V будет, конечно, тождественный эндоморфизм алгебры Отсюда заключаем, что отображение определяет представление мультипликативной группы обратимых эндоморфизмов (автоморфизмов) пространства

Предложение 2. Пусть V — векторное пространство, внешняя алгебра над V, х и у — однородные элементы из степеней соответственно. Тогда

Эта формула очевидна, если или (так как тогда один из множителей — скаляр, а в случае если его степень он даже равен 0). Рассмртрим случай Если то х и у принадлежат пространству Но квадрат каждого элемента из в алгебре равен нулю, так что

и, следовательно, Если элементу является линейной комбинацией произведений из элементов пространства Поэтому формулу достаточно доказать для случая те но тогда откуда легко следует, что Если наконец, 1, то достаточно рассмотреть случай где Но тогда откуда непосредственно заключаем, что

Следствие 1. Пусть V — векторное пространство, внешняя алгебра над Пусть однородные элементы алгебры а -подстановка множества тогда

Это утверждение вытекает непосредственно из предложения 2 и из того факта, что каждая подстановка может быть представлена в виде произведения транспозиций, переставляющих два соседних элемента множества

Следствие 2. Всякий левый (или правый) однородный идеал внешней алгебры над векторным пространством V является идеалом в Произведение двух любых элементов идеала, порожденного в алгебре некоторым элементом х пространства V, равно нулю.

Пусть а — левый однородный идеал алгебры Чтобы доказать, что а является также и правым идеалом, достаточно убедиться, что для всякого однородного элемента у алгебры Пусть элемент из а, и пусть для целого однородная компонента степени элемента х. Тогда для всех так что Так как то также следовательно, . Таким же образом мы убеждаемся, что всякий правый однородный идеал является идеалом. Пусть теперь элемент

пространства Левый идеал и правый идеал оба однородны (предложение 2 § 2) и, следовательно, совпадают с идеалом, порожденным элементом х. Отсюда вытекает, что произведение двух элементов из этого идеала всегда можно записать в виде а и элементы алгебры так как квадрат каждого элемента пространства V равен нулю.

Теорема 2. Пусть внешняя алгебра над векторным пространством пространство, дуальное к внешняя алгебра над Обозначим через ассоциативную алгебру эндоморфизмов векторного пространства Тогда существует один и только один унитарный гомоморфизм алгебры в алгебру обладающий следующим свойством: для эндоморфизм является антидеривацией алгебры продолжающей отображение пространства V в поле К. Если — однородный элемент степени алгебры то (и — однородное отображение степени —

Пусть -тензорная алгебра над V, и пусть идеал, порожденный в алгебре квадратами элементов пространства V, так что Пусть х — элемент из Отображение можно рассматривать как линейное отображение пространства V в алгебру Это отображение может быть продолжено в антидеривацию алгебры (следствие предложения 11 из § 3). Для имеем

так как скаляр. Из предложения 3 § 2 следует, что антидеривация отображает идеал в себя, а из предложения 2 § 3 - что она определяет в фактор-алгебре антидеривацию которая, очевидно, продолжает отображение пространства V в поле К. Согласно следствию предложения 6 § 3, отображение однородно степени . Отображение однородно степени —2 и переводит, следовательно, пространство V в Кроме того, это отображение является деривацией алгебры (предложение 5 § 3); отсюда мы заключаем, что (следствие предложения 3 § 3). Пусть х и у — элементы пространства Тогда являются антидеривациями, совпадающими на пространстве V, так что (согласно следствию предложения 3 из § 3) Таким же образом убеждаемся, что для каждого элемента а основного

поля пространства следовательно, отображение пространства V в алгебру линейно. Из предложения 1 вытекает, что это отображение можно продолжить в унитарный гомоморфизм алгебры в алгебру мы его также обозначим через Пусть и — однородный элемент степени алгебры Если то Если то — скаляр и скалярное кратное тождественного отображения алгебры следовательно, однородный элемент степени 0. Если то и — линейная комбинация произведений из элементов пространства поэтому линейная комбинация произведений из однородных линейных отображений степени —1 пространства в себя, так что однородное отображение степени Пусть теперь гомоморфизм в алгебру обладающий свойством, требуемым для гомоморфизма в формулировке теоремы 2. Из следствия предложения 3 § 3 вытекает, что совпадает с гомоморфизмом на пространстве V, так что, согласно предложению Теорема 2 доказана.

Определение 1. При тех же обозначениях, что и в теореме 2, пусть элемент пространства элемент пространства элемент называется копроизведением элемента на элемент

Теорема 3. Пусть внешняя алгебра над векторным пространством V, и пусть элементы из Для того чтобы произведение этих элементов в алгебре было отлично от 0, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно независимы в пространстве

Предположим сперва, что линейно независимы. Неравенство будем доказывать индукцией по Оно тривиально для Пусть предположим, что наше утверждение доказано для систем из элементов. Так как линейно независимы, то существует линейная функция х над V, для которой

Пусть операция коумножения на элемент х. Эта операция — антидеривация, отображающая в элементы алгебры, порожденной элементами (предложение 3 из § 3); следовательно,

Но по предположению индукции, так что Пусть теперь элементы линейно зависимы. Один из них является линейной комбинацией других, и следствие 1 предложения 2 показывает, что для доказательства равенства можно, не ограничивая общности, предположить, что — линейная комбинация элементов Тогда линейная комбинация произведений где и все эти произведения равны нулю, согласно следствию 2 предложения 2.

Лемма 1. Пусть А — алгебра. Предположим, что каждому конечному подмножеству некоторого множества В сопоставлен элемент из А так, что выполнено следующее условие: для двух конечных подмножеств множества В произведение равно если пересечение множеств пусто, и это произведение равно 0, если имеют общие элементы. Если все элементы отличны от 0, то они образуют линейно независимое семейство в алгебре А.

Действительно, предположим, что существует нетривиальное линейное соотношение вида между элементами (где коэффициенты принадлежат основному полю алгебры А и знак суммы распространяется на все конечные подмножества множества В). Пусть некоторое конечное подмножество множества В, для которого Существует только конечное число конечных множеств для которых объединение таких множеств будет опять конечным подмножеством множества В. Пусть дополнение к множеству Умножим равенство на элемент Имеем а если или или так что Получаем следовательно, что и доказывает лемму.

Теорема 4. Пусть V — векторное пространство, - базис пространства внешняя алгебра над Пусть совокупность конечных подмножеств множества В. Для каждого обозначим через произведение элементов множества взятых в каком-нибудь порядке.

Семейство является тогда базисом векторного пространства Если есть совокупность подмножеств множества В, содержащих элементов натуральное число), то семейство базис пространства однородных элементов степени алгебры

Из следствия 1 предложения 2 непосредственно вытекает, что если пересечение множеств пустое, а из следствия 2 предложения — что если множества имеют общий элемент. Теорема 3 показывает, что все элементы отличны от 0; в силу леммы 1 они линейно независимы. Как легко видеть, пространство линейных комбинаций элементов является подалгеброй алгебры (так как элементы образуют полугруппу относительно умножения в алгебре Эта подалгебра содержит 1, так как она содержит также множество В, так как для каждого Алгебра совпадает, следовательно, с алгеброй что и доказывает первое утверждение теоремы 4. Второе утверждение получается непосредственно, если заметить, что элемент однороден и его степень равна числу элементов множества

Следствие. Пусть V — векторное пространство конечной размерности Внешняя алгебра пространства V имеет тогда размерность Пространство однородных элементов степени алгебры имеет размерность 0, если и эта размерность равна биномиальному коэффициенту если Пусть -базис пространства если то произведения где образуют базис пространства

В частности, пространство имеет размерность 1 и порождается элементом

Это следует непосредственно из теоремы 4.

Предложение 3. Пусть V — векторное пространство конечной размерности, -базис пространства -гомоморфизм внешней алгебры над V в некоторую алгебру А. Для того чтобы гомоморфизм был изоморфизмом алгебры на некоторую подалгебру алгебры А, необходимо и достаточно, чтобы

Условие, конечно, необходимо, так как Предположим, что оно выполнено. Пусть некоторое

подмножество множества и пусть произведение элементов множества взятых в каком-то определенном порядке. Если дополнение множества то так что Из леммы 1 следует, что элементы где пробегает все подмножества множества линейно независимы. Из следствия теоремы 4 вытекает, что гомоморфизм является изоморфизмом.

Предложение 4. Пусть линейное отображение векторного пространства V в векторное пространство V, и пусть естественное продолжение отображения в гомоморфизм внешней алгебры пространства V во внешнюю алгебру пространства Если -изоморфизм пространства V на некоторое подпространство пространства V, то изоморфизм алгебры на некоторую подалгебру алгебры

Пусть В — базис пространства если конечное подмножество множества В, то пусть произведение элементов множества взятых в каком-то порядке. Из условия предложения следует, что семейство линейно независимо в пространстве Теорема 3 показывает, что элементы отличны от нуля. В силу леммы 1 они линейно независимы, что и доказывает, что -изоморфизм.

Если, в частности, V — подпространство пространства V, то тождественное отображение может быть продолжено в изоморфизм внешней алгебры над V во внешнюю алгебру над . С помощью этого изоморфизма мы отождествляем алгебру с подалгеброй алгебры

Предложение 5. Пусть V — векторной пространство, являющееся прямой суммой двух подпространств и ; пусть внешние алгебры над пространствами и соответственно. Билинейное отображение множества в алгебру определяет взаимно однозначное линейное отображение тензорного произведения на алгебру такое, что

Как известно, можно сопоставить отображению множества в алгебру линейное отображение тензорного произведения в алгебру для которого

Пусть теперь В — базис пространства V, являющийся объединением базисов пространства пространства Каждому конечному подмножеству множества сопоставим элемент алгебры произведение элементов множества взятых в каком-то определенном порядке. Каждое конечное подмножество множества В представимо одним и только одним образом в виде объединения где Положим Из теоремы 4 следует, что элементы образуют базис пространства а элементы базис пространства Кроме того, имеет место равенство

Отсюда вытекает, что отображение взаимно однозначно и отображает на

Нужно заметить, что, вообще говоря, отображение не будет изоморфизмом алгебры (тензорного произведения алгебр на алгебру так как, вообще говоря, элементы алгебры не перестановочны в алгебре с элементами алгебры Пусть однородные элементы алгебры причем -элемент степени степени Тогда из предложения 2 сразу следует, что

Предложение 6. Пусть V — векторное пространство, два его конечномерных подпространства. Пусть базис пространства базис Пространства Для того чтобы элемент х из V принадлежал необходимо и достаточно, чтобы далее, тогда и только тогда, когда элемент является произведением элемента на некоторый элемент алгебры тогда и только тогда, когда элемент скалярное кратное элемента пространства имеют общий элемент, отличный от нуля, тогда и только тогда, когда

Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы элементы х, были линейно зависимы, т. е. чтобы (теорема 3). Если то элементы

принадлежат внешней алгебре над пространством Тогда элемент также содержится в алгебре Правый идеал, порожденный элементом в алгебре однороден (предложение 2 § 2) и является, следовательно, некоторым идеалом а алгебры (следствие предложения 2). Идеал а отличен от так что естественный гомоморфизм алгебры на фактор-алгебру не является изоморфизмом и а (предложение 3). Наоборот, предположим, что

где Для условие влечет за собой что, как показывает первое утверждение предложения 6, означает, что Элемент у можно разложить на его однородные компоненты, так что можно предположить, что у — однородный элемент степени Если то тогда и только тогда, когда т. е. когда у — скаляр. Для того чтобы пространства имели общий элемент, отличный от нуля, необходимо и достаточно, чтобы сумма этих пространств не была прямой, т. е. чтобы элементы были линейно зависимы. Согласно теореме 3, это эквивалентно равенству

Пусть V — векторное пространство конечной размерности и -базис пространства Пусть целое число, элементы вида образуют базис пространства однородных элементов степени внешней алгебры над Если представить элемент и пространства в виде линейной комбинации элементов этого базиса, то коэффициенты этого выражения называются плюккеровыми координатами элемента и (относительно базиса пространства V). Пусть подпространство размерности пространства V, и пусть и — произведение элементов некоторого базиса пространства плюккеровых координатах элемента и говорят, что они образуют систему плюккеровых координат подпространства Из предложения 6 следует, что две системы плюккеровых координат подпространства (относительно одного и того же базиса пространства V) пропорциональны.

Предложение 7. Пусть V — векторное пространство и внешняя алгебра над Для целого обозначим через пространство однородных элементов степени алгебры Пусть линейное отображение пространства в векторное пространство Отображение

множества в пространство будет полилинейным и знакопеременным отображением. Обратно, если полилинейное и знакопеременное отображение множества в пространство то существует одно и только одно линейное отображение пространства в пространство такое, что

Отображение очевидно, будет полилинейным; если для двух различных индексов имеет место равенство то (следствие 2 предложения 2), так что отображение

знакопеременно.

Пусть теперь - полилинейное знакопеременное отображение множества в пространство Пусть -тензорная алгебра над пространством пространство однородных элементов степени алгебры и пусть В — базис пространства Элементы вида где образуют тогда базис пространства (ср. предложение 3 § 1). Существует линейное отображение пространства в пространство такое, что

для всякой конечной последовательности элементов множества В. Полилинейные отображения и отображение

множества в пространство совпадают на множестве элементов из вида Так как базис пространства V, то эти отображения совпадают. Пусть идеал, порожденный в алгебре элементами вида где Всякий элемент из является суммой

элементов вида где Разлагая элементы на их однородные компоненты, мы убеждаемся, что каждый элемент из идеала есть сумма элементов вида где однородные элементы степеней тир соответственно, причем Можно поэтому предположить, что произведения алгебре соответственно тир элементов из Но тогда является произведением элементов пространства V, в котором два соседних множителя равны. Так как отображение знакопеременно, то Отсюда мы заключаем, что отображает элементы из в 0. Но и естественное отображение алгебры на алгебру индуцирует линейное отображение пространства на пространство ядро которого есть Отсюда следует, что при переходе в фактор-алгебру отображение определяет линейное отображение пространства в пространство такое, что

для всякого Предложение 7 доказано.

Это предложение показывает, что пространство однородных элементов степени внешней алгебры над векторным пространством V изоморфно внешней степени пространства V, определенной у Бурбаки (Алгебра, гл. III, § 5, п °5). Отсюда же легко заключить, что определенная нами внешняя алгебра совпадает (с точностью до изоморфизма) с внешней алгеброй, определенной Бурбаки (Алгебра, гл. III, § 5, п °9). В частности, можно легко вывести следующий результат. Пусть V — векторное пространство конечной размерности -внешняя алгебра над V, и — отличный от однородный элемент алгебры имеющий степень — эндоморфизм пространства Если обозначить через X эндоморфизм алгебры естественно продолжающий эндоморфизм X на алгебру то

Предложение 8. Пусть V — векторное пространство, внешняя алгебра над эндоморфизм пространства Тогда существует одна и только одна деривация алгебры продолжающая эндоморфизм Отображение пространства эндоморфизмов пространства V в пространство дериваций алгебры является линейным. Для

двух эндоморфизмов пространства V эндоморфизм продолжается в деривацию

Пусть тензорная алгебра над пространством V, а с — идеал, порожденный в элементами вида где Следствие предложения 11 § 3 показывает, что эндоморфизм X можно продолжить в деривацию алгебры Для имеем

Но так как принадлежат V, то они антиперестановочны в т. е. Из предложения 3 § 3 следует, что деривация отображает идеал в себя, а из предложения 2 § 3 — что определяет при переходе в фактор-алгебру некоторую деривацию алгебры Ясно, что деривация продолжает эндоморфизм X, а согласно следствию предложения единственная деривация, продолжающая Пусть эндоморфизмы пространства V, и пусть а — элемент поля К. Операторы являются деривациями алгебры (ср. следствие предложения 5 § 3), продолжающими эндоморфизмы и соответственно. Следовательно, и

Предложение 9. Пусть V — векторное пространство, X — эндоморфизм пространства деривация внешней алгебры над V, продолжающая эндоморфизм Отображение однородно степени 0. Пусть конечномерное подпространство пространства V, и пусть и — произведение элементов некоторого базиса пространства Для того чтобы эндоморфизм X отображал пространство в себя, необходимо и достаточно, чтобы элемент был скалярным кратным элемента и. В этом случае где след ограничения эндоморфизма X на пространство

Первое утверждение непосредственно вытекает из следствия предложения 6 § 3. Пусть -базис пространства Элемент является тогда суммой произведений где произведение, получающееся из заменой множителя х элементом (предложение 10 § 3). Если эндоморфизм X отображает пространство в себя, то можно положить где — элементы основного поля. Вспоминая, что

произведение элементов пространства V равно нулю, если два множителя равны между собой (следствие предложения 2), мы видим, что так при этом Предположим теперь, что элемент является скалярным кратным элемента и. Тогда для так что Отсюда вытекает, что элементы линейно зависимы (теорема 3), т. е. . Так как это имеет место для 1 то эндоморфизм X отображает пространство в себя.

Подобный, но немного менее точный результат можно получить для эндоморфизма алгебры продолжающего эндоморфизм

Предложение 10. Пусть V — векторное пространство, X — обратимый эндоморфизм пространства унитарный эндоморфизм внешней алгебры над V, продолжающий эндоморфизм Пусть конечномерное подпространство пространства V и — произведение элементов некоторого базиса пространства Для того чтобы эндоморфизм X отображал пространство в себя, необходимо и достаточно, чтобы элемент был скалярным кратным элемента и.

Пусть базис пространства для которого и. Имеем Если эндоморфизм отображает пространство в себя, то элементы принадлежат пространству и их произведение является скалярным кратным элемента и (предложение 6). Предположим, наоборот, что , где а — скаляр. Если эндоморфизм, обратный эндоморфизму унитарный эндоморфизм, продолжающий У, то продолжают тождественный эндоморфизм пространства V и совпадают, следовательно, с тождественным эндоморфизмом алгебры Это показывает, что Пусть любой элемент из Тогда так что и так как то т. е. (предложение 6), так что эндоморфизм X отображает пространство в себя.