§ 8. Векторные пространства с операторами

Векторным пространством с операторами над полем К мы будем называть структуру, состоящую из векторного пространства V над полем К и отображения некоторого множества в множество эндоморфизмов пространства Множество называется областью операторов. Эндоморфизмы для называются операторами этой структуры. Векторное пространство с операторами мы обыкновенно будем обозначать той же буквой, что и само векторное пространство, в котором операторы определены; но в случае, когда такое обозначение может привести к недоразумению, мы будем пользоваться также записью где V — векторное пространство (без операторов), отображение области операторов в множество эндоморфизмов пространства

Понятие векторного пространства с операторами отличается от понятия модуля, определенного в томе 1 (гл. VI, § 1), только тем, что здесь не предполагается конечномерность пространства Так как термин "модуль" в книге Бурбаки имеет совершенно иной смысл, то нам кажется предпочтительным

заменить его здесь термином "векторное пространство с операторами".

Определение 1. Пусть V — векторное пространство с операторами. Подпространство пространства V называется допустимым, если оно отображается в себя всеми операторами пространства

Пусть — допустимое подпространство пространства Пусть область операторов пространства V, и для пусть оператор, соответствующий элементу Через обозначим соответственно ограничение оператора на пространство и эндоморфизм пространства индуцированный оператором (при переходе в фактор-пространство). Векторное пространство с операторами называется подпространством пространства фактор-пространством пространства

Векторное пространство с операторами можно рассматривать как абелеву группу с операторами, допускающую две области операторов, а именно: умножение -+ах (где а пробегает элементы основного поля, элементы пространства) и умножение (где X пробегает элементы области операторов). Допустимые подпространства идентичны тогда с допустимыми подгруппами, определенными у Бурбаки (Алгебра, гл I, § б, п° 11). Из этого следует, что общие теоремы относительно абелевых групп с операторами — в частности теорема о гомоморфизме Э. Нётер (Бурбаки, Алгебра, гл. I, § 6, п° 13) и теорема Жордана — Гёльдера (Бурбаки, Алгебра, гл. I, § 6, п° -применимы к векторным пространствам с операторами.

Ясно, что сумма и пересечение какого-нибудь семейства допустимых подпространств векторного пространства V с операторами также являются допустимыми подпространствами пространства

Определение 2. Векторное пространство V с операторами называется простым, если оно отлично от и не содержит допустимых подпространств, отличных от Пространство V называется полупростым, если оно представимо в виде суммы допустимых простых подпространств.

Эти определения несколько отличаются от соответствующих определений у Бурбаки для операторных групп: с одной

стороны, мы требуем, чтобы простое пространство содержало элементы, отличные от 0, с другой — называем полупростыми и пространства, которые являются бесконечными суммами простых пространств.

Заметим, что векторное пространство с операторами, состоящее из одного элемента 0, — полупростое, так как оно является суммой пустого множества простых подпространств.

Теорема 5. Для того чтобы векторное пространство V с операторами было полупростым, необходимо и достаточно, чтобы всякое его допустимое подпространство обладало дополнительным подпространством в V, которое бы также было допустимым. Если допустимое подпространство полупростого пространства V, то само подпространство и фактор-пространство являются полупростыми векторными пространствами с операторами. Если, кроме того, пространство V является суммой допустимых простых подпространств то существует подмножество V множества индексов такое, что -прямая сумма пространства и всех пространств для которых

Предположим, что V является суммой простых допустимых подпространств Рассмотрим подмножества множества обладающие тем свойством, что сумма пространства и пространств для прямая. Для того чтобы множество обладало этим свойством, необходимо и достаточно, чтобы тем же свойством обладали все конечные подмножества множества (Известно, что сумма некоторого семейства подпространств прямая, если все конечные суммы подпространств из этого семейства прямые.) С другой стороны, ясно, что пустое подмножество множества этим свойством обладает. Следовательно, существует максимальное подмножество V множества для которого это свойство выполнено. Пусть V — сумма пространства и всех пространств 5 для Если любой элемент множества то сумма не прямая. Это очевидно для случая так как тогда содержится в пространстве Для утверждение непосредственно вытекает из того факта, что множество, получающееся из I присоединением индекса уже больше не обладает отмеченным свойством. Мы видим, что для пересечение всегда содержит элемент допустимое подпространство пространства так как пространство 5 простое, то т. е. Так как утверждение справедливо

для всех то Пусть сумма пространств для так как сумма прямая, то допустимое дополнительное пространство для пространства Векторное пространство с операторами изоморфно пространству и является поэтому полупростым. Но пространство изоморфно пространству применяя то же заключение вместо мы видим, что полупростое пространство.

Пусть теперь V — векторное пространство с операторами, в котором каждое допустимое подпространство обладает допустимым дополнением. Пусть V — сумма всех допустимых простых подпространств пространства допустимое дополнение V в пространстве Псжажем, что откуда будет следовать, что т. е. что пространство V полупростое. Предположим, что и пусть отличный от элемент из Пусть множество всех допустимых подпространств пространства не содержащих это множество не пусто, так как оно содержит пространство Пусть подмножество множества вполне упорядоченное по включению, и пусть сумма пространств из Каждый элемент из является суммой конечного числа элементов из подпространств, принадлежащих к так как множество вполне упорядочено по включению, то все эти подпространства содержатся в максимальном, так что является объединением всех пространств из Отсюда следует, что х не содержится в так что . С помощью теоремы Цорна заключаем, что содержит максимальный элемент Пусть допустимое дополнение пространства и пусть — элемент из который Мы имеем поскольку элемент х не принадлежит пространству так как то Пусть наименьшее допустимое подпространство пространства V, содержащее элемент у (это пересечение всех допустимых подпространств, содержащих элемент Ясно, что Пусть допустимое подпространство пространства Если то Если у не принадлежит пространству то он также не принадлежит пространству Действительно, имеет место включение и наше утверждение непосредственно следует из того, что сумма прямая. Так как то элемент х не принадлежит пространству Но содержится в пространстве и так как максимальный

элемент множества то Отсюда следует, что так что поскольку сумма прямая. Это показывает, что простое допустимое подпространство, так что следовательно, но это противоречит тому факту, что Предположение приводит, таким образом, к противоречию. Следовательно, пространство V — полупростое. Теорема 5 доказана.

Пусть V — векторное пространство с операторами над полем К, и пусть надполе поля К. Обозначим через векторное пространство, получающееся из V расширением основного поля до Пусть область операторов пространства Для обозначим через оператор, соответствующий элементу Этот оператор может быть продолжен в эндоморфизм пространства Таким образом, является векторным пространством с операторами. Мы будем говорить, что оно получается из векторного пространства V с операторами расширением основного поля до поля Векторное пространство с операторами мы также будем обозначать через когда это не может привести к недоразумению.

Теорема 6. Пусть V — векторное пространство с операторами над полем надполе поля К. Если полупростое векторное пространство с операторами, то полупростым является также и Если, наоборот, V — полупростое конечномерное векторное пространство с операторами и если поле К совершенно, то и пространство полупростое.

Предположим что пространство полупростое. Пусть допустимое подпространство пространства тогда, как легко видеть, допустимое подпространство пространства Это подпространство обладает допустимым дополнением в пространстве Пусть и — некоторое (не обязательно допустимое) дополнение подпространства в пространстве Обозначим через область операторов пространства V, а через для эндоморфизм пространства V, соответствующий элементу Для и положим где линейное отображение пространства

линейное отображение пространства в себя. Обозначим через эндоморфизм пространства продолжающий эндоморфизм через линейное отображение пространства в пространство продолжающее отображение и через эндоморфизм пространства продолжающий эндоморфизм Для имеем

С другой стороны, каждый элемент и! из сравним с (однозначно определенным) элементом из при этом линейное отображение пространства в пространство Так как пространство допустимо, то элемент

также принадлежит к так что

Пусть — базис поля над полем К, содержащий элемент из К. Если то имеет место равенство где всех При этом ясно, что является линейным отображением Положим если а — элемент пространства то элементы принадлежат пространству Отсюда следует, что

Из этого равенства вытекает, что

Пусть множество элементов вида и для всех Приведенная выше формула показывает, что оператор отображает множество в себя при всех

стороны, является образом пространства при отображении и пространства в пространство Это отображение, очевидно, линейно, и, следовательно, множество векторное подпространство пространства Так как сумма прямая, то и только в случае так что Это показывает, что сумма прямая. Наконец, ясно, что все элементы пространства содержатся в так что Мы видим, что допустимое дополнение подпространства в пространстве Согласно теореме 5, пространство V полупростое.

Предположим теперь, что К — совершенное поле, а V — конечномерное полупростое пространство. Если V является суммой допустимых подпространств то пространство оказывается суммой подпространств если все слагаемые суть полупростые пространства, то и пространство полупростое. Мы видим, что, не ограничивая общности, можно предположить пространство V простым. Пусть, с другой стороны, надполе поля легко видеть, что пространство можно отождествить с пространством (ср. Бурбаки, Алгебра, гл. III, § 2, п° 1, предложение Если мы докажем, что пространство полупростое, то из первой части доказательства будет следовать полупростота пространства Это замечание показывает, что поле можно предположить алгебраически замкнутым. Обозначим через группу автоморфизмов поля оставляющих неизменными элементы поля К.

Так как поле К совершенно, то всякий элемент поля остающийся неизменным при всех автоморфизмах из принадлежит К (Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 7, п° 3, определение 2). Пусть базис пространства он будет также базисом пространства Каждому элементу 5 группы можно сопоставить отображение 5 пространства в себя, определенное равенством

Для из имеем

и если

Так как отображает поле на себя, то отображение переводит всякое подпространство пространства в некоторое подпространство пространства Пусть символы и и для имеют то же значение, что и выше. Отображение 5 перестановочно с оператором так как:

Следовательно, отображение 5 переводит допустимое подпространство пространства опять в допустимое подпространство. Наконец, легко видеть, что для любых элементов и из группы имеет место равенство Покажем теперь, что пространство содержит по крайней мере одно допустимое простое подпространство 5. Действительно, так как пространство V простое, то . В качестве 5 можно поэтому выбрать любое минимальное отличное от допустимое подпространство пространства Образуем сумму V подпространств где пробегает все автоморфизмы из группы О. Очевидно, что V — допустимое полупростое подпространство пространства Кроме того, для оператор переставляет пространства между собой, так что Из результатов Бурбаки (Алгебра, гл. И, § 5, п° 6, следствие предложения следует, что подполе поля принадлежащее подпространству V, содержится в поле так что V (рассматриваемое как векторное пространство над полем порождается элементами из а к и, Алгебра, гл. II, § 5, п° 5, теорема 2). Но допустимое подпространство пространства V, не равное так как Однако мы; предположили, что пространство V — простое, так что т. е. Это показывает, что пространство полупростое. Теорема 6 доказана.

Пусть V — векторное пространство, его эндоморфизм. Тождественное отображение одноэлементного множества

в множество эндоморфизмов пространства V определяет над V структуру векторного пространства с операторами. Если при этом пространство V оказывается полупростым, то мы будем называть X полупростым эндоморфизмом. Для того чтобы эндоморфизм X был полупростым, необходимо и достаточно, чтобы всякое подпространство пространства отображающееся эндоморфизмом X в себя, обладало дополнением с таким же свойством (теорема 5). Из теоремы 6 легко вытекает следующее утверждение:

Предл ожени Пусть X — эндоморфизм векторного пространства надполе поля эндоморфизм пространства продолжающий Если полупростой эндоморфизм, то и эндоморфизм X полупростой. Предполагая, что эндоморфизм X полупростой, поле К совершенно и размерность пространства V конечна, можно заключитьг что полупростой эндоморфизм.

Напомним, что элемент х векторного пространства V называется собственным вектором эндоморфизма X пространства V, если является скалярным кратным вектора называется собственным вектором некоторого семейства эндоморфизмов пространства V, если он есть собственный вектор всех эндоморфизмов семейства.

Предложение 2. Пусть V — векторное пространство с операторами над алгебраически замкнутым полем предположим, что операторы пространства V перестановочны между собой и размерность пространства V конечна Для того чтобы V было полупростым, необходимо и достаточно, чтобы все операторы этого пространства были полупростыми. В этом случае V порождается собственными векторами семейства своих операторов.

Предположим, что простое подпространство пространства V, и покажем, что размерность пространства равна 1. Пусть -некоторый оператор пространства Так как поле К алгебраически замкнуто, то ограничение эндоморфизма на пространство обладает собственным вектором где Пусть множество всех векторов для которых Любой оператор пространства V, по предположению, перестановочен с оператором и отображает пространство в себя. Следовательно, для имеем

и

так что Это показывает, что множество очевидно являющееся векторным пространством, допустимо. Так как и так как пространство простое, то Таким образом, все операторы пространства V совпадают на со скалярными кратными тождественного отображения. Отсюда заключаем, что все подпространства пространства допустимы, и, так как само пространство простое, то его размерность равна 1. Пространство следовательно, порождается некоторым собственным вектором семейства операторов пространства Если V — полупростое пространство, то оно является прямой суммой простых допустимых подпространств и тем самым порождается собственными векторами семейства своих операторов. Отсюда мы непосредственно заключаем, что все операторы пространства V полупростые. Предположим, наоборот, что все операторы пространства V полупростые. Доказательство полупростоты пространства V будем вести индукцией по размерности Утверждение очевидно для Пусть и пусть утверждение справедливо для пространств размерности, меньшей Если все операторы являются скалярными кратными тождественного отображения, то пространство V, очевидно, полупростое. Предположим, что оператор не является скалярным кратным тождественного отображения. Так как оператор полупростой, то из первой части доказательства вытекает, что V порождается собственными векторами оператора Мы видим, что пространство V можно представить в виде прямой суммы подпространств таких, что для всех где элементы поля К, причем можно предположить все попарно различными. Кроме того, можно предположить, что все отличны от Так как (в противном случае оператор был бы скалярным кратным тождественного отображения), то размерность всех пространств будет Из предложения 6 § 2 следует, что все элементы для которых принадлежат Пусть любой оператор пространства для имеем

т. е. следовательно, все пространства допустимы. Ограничения на операторов пространства V полупросты.

Согласно предположению индукции, все должны быть полупростыми; но тогда и V оказывается полупростым.

Следствие. Пусть V — векторное пространство с операторами, имеющее конечную размерность над совершенным полем К. Предположим, что операторы пространства V перестановочны друг с другом. Для того чтобы V было полупростым, необходимо и достаточно, чтобы все операторы были полупростыми.

Пусть алгебраически замкнутое надполе поля К. Операторы векторного пространства V с операторами являются продолжениями операторов пространства V, Следовательно, они перестановочны между собой. Следствие вытекает теперь из теоремы 6 и предложений 1 и 2.

Предложение 3. Пусть А — ассоциативная унитарная алгебра над совершенным полем К» и пусть V — конечномерное подпространство в А, являющееся системой почти-образующих алгебры А. Пусть -отображение алгебры А в себя, которое является или унитарным эндоморфизмом алгебры А, или деривацией. Предположим, что отображает пространство V в себя и что ограничение отображения на пространство V полупростое; тогда -полупростое отображение.

Обозначим через пространство скаляров алгебры А, а через подпространство, порожденное произведениями из элементов пространства Пространство А является суммой пространств Пусть алгебраически замкнутое надполе поля К. Линейное отображение алгебры продолжающее отображение будет или унитарным эндоморфизмом, или деривацией алгебры (предложение 2 из § 6). Имеем так как поле К совершенно, а пространство V — конечной размерности, то ограничение является полупростым отображением пространства (предложение 1). Поэтому существует базис В пространства состоящий из собственных векторов отображения (предложение 2). Очевидно, что порождается (как векторное пространство) произведениями из элементов пространства следовательно, также произведениями из элементов базиса В. Пространство размерности 1, отображается в себя в случае,

если унитарный эндоморфизм алгебры и переходит в если деривация алгебры (предложение 4 из § 3); в обоих случаях ограничение отображения на является полупростым эндоморфизмом пространства Пусть теперь и пусть элементы базиса В. Положим

Если унитарный эндоморфизм алгебры то

если деривация алгебры то

(предложение 10 из § 3). В обоих случаях порождается собственными векторами отображения Отсюда вытекает, что сумма одномерных пространств, допустимых относительно отображения так что есть полупростое отображение. Но тогда и отображение полупростое (предложение 1).

Определение 3. Эндоморфизм X векторного пространства V называется нильпотентным, если для некоторого целого имеет место равенство

Предположим, что это условие выполнено, и пусть подпространство пространства V, отображающееся в себя эндоморфизмом Тогда ясно, что эндоморфизмы, индуцируемые в подпространстве и в фактор-пространстве эндоморфизмом X, также нильпотентны.

Лемма 1. Пусть X — нильпотентный эндоморфизм векторного пространства тогда существует элемент из V, для которого

Пусть наименьшее целое для которого Наше утверждение тривиально, если Если то отображает пространство V на подпространство и в качестве элемента х можно взять любой элемент из

Лемма 2. Эндоморфизм X векторного пространства V, который является одновременно и нильпотентным и полупростым, совпадает с нулевым эндоморфизмом.

Пусть подпространство пространства V, состоящее из элементов для которых отображает пространство в себя, так что пространство V является прямой суммой пространства и некоторого пространства допустимого относительно отображения Ограничение эндоморфизма X на пространство нилэпотентно, но ни один отличный от элемент из не переходит в при эндоморфизме Из леммы 1 следует, что так что

Предложение 4. Пусть попарно перестановочные эндоморфизмы векторного пространства V, и пусть — подалгебра ассоциативной алгебры всех эндоморфизмов пространства V, порожденная эндоморфизмами Если все эндоморфизмы нилъпотентны, то и все элементы алгебры нилъпотентны. Если размерность векторного пространства V конечна и его основное поле К совершенно, то из полупростоты эндоморфизмов следует полупростота всех элементов алгебры

Ясно, что — коммутативная алгебра (ср. лемму 1 из § 4). Пусть множество нильпотентных элементов из пусть, далее, элементы из целые числа для которых Для имеем Так как перестановочны, то выражение можно разложить по формуле бинома; каждый член разложения будет вида где целые числа 0, такие, что Следовательно, или так что Наконец,

Множество как мы видим, образует подалгебру алгебры так как эта подалгебра содержит элементы то она совпадает с алгеброй

Предположим теперь, что основное поле К совершенно, что пространство V — конечной размерности и что все полупростые эндоморфизмы. Обозначим через множество этих эндоморфизмов; тождественное отображение множества в множество эндоморфизмов пространства V определяет на V структуру векторного пространства с операторами. Согласно следствию предложения 2, это векторное пространство с операторами полупростое. Предложение 4 вытекает теперь из следующей леммы:

Лемма 3. Пусть V — векторное пространство с операторами, и пусть — подалгебра ассоциативной алгебры всех эндоморфизмов, порожденная операторами пространства Пусть тождественное отображение алгебры в пространство эндоморфизмов пространства Тогда векторное пространство с операторами, для которого алгебра является областью операторов. Для того чтобы V было полупростым, необходимо и достаточно, чтобы полупростым было пространство

Совершенно ясно, что эндоморфизмы пространства К, отображающие в себя некоторое подпространство пространства V, образуют подалгебру алгебры всех эндоморфизмов пространства Таким образом, всякое допустимое подпространство пространства V отображается в себя операторами пространства т. е. является допустимым подпространством пространства Обратное утверждение также очевидно. Это доказывает лемму 3.

Замечание. Заключение леммы 3 остается, очевидно, справедливым для случая, когда означает алгебру, порожденную операторами пространства V и тождественным отображением.

Предложение 5. Пусть X — эндоморфизм конечномерного векторного пространства V над совершенным полем К. Для того чтобы эндоморфизм X был полупростым, необходимо и достаточно, чтобы существовал полином с коэффициентами из взаимно простой со своей производной, для которого

Предположим сперва, что эндоморфизм X полупростой. Так как пространство эндоморфизмов пространства V имеет конечную размерность, то существует по крайней мере один полином с коэффициентами из для которого Положим

где неприводимые попарно взаимно простые полиномы, а показатели Пусть и пусть наибольший из показателей Полином делится на так что

Но согласно лемме полупростой эндоморфизм, а лемма 2 показывает, что тогда Кроме того, так как поле К предположено совершенным, то неприводимые

полиномы имеют в алгебраическом замыкании поля К только простые корни. Так как полиномы попарно взаимно просты, то полином вообще не имеет кратных корней и поэтому взаимно прост со своей производной.

Предположим, наоборот, что для некоторого полинома взаимно простого со своей производной, Пусть алгебраически замкнутое надполе поля К. Тогда

где переменная, различные элементы поля Положим

Полиномы взаимно простые в совокупности, так что идеал, который они порождают в кольце всех полиномов, является единичным идеалом. Отсюда мы заключаем, что существуют такие полиномы с коэффициентами из для которых Пусть -эндоморфизм пространства продолжающий эндоморфизм очевидно, что Обозначим через множество всех для которых

- подпространство пространства допустимое относительно отображения Совершенно очевидно, что ограничение отображения на это подпространство является полупростым эндоморфизмом. Мы покажем, что пространство представимо в виде прямой сумы пространств Отсюда будет непосредственно следовать, что и (согласно предложению 1) также X — полупростые эндоморфизмы. Пусть элемент пространства Формула показывает, что отображение

является тождественным эндоморфизмом I пространства Положим

тогда С другой стороны,

так что Но тогда так что Предложение 5 доказано.

Теорема 7. Пусть X — эндоморфизм конечномерного пространства V над совершенным полем К. Эндоморфизм X можно одним и только одним способом представить в виде суммы полупростого эндоморфизма и нильпотентного эндоморфизма Эндоморфизмы перестановочны друг с другом и могут быть представлены в виде полиномов от эндоморфизма X с коэффициентами из поля

Пусть алгебра полиномов от переменной с коэффициентами из поля К. Так же как и в доказательстве предложения 5, мы находим полином , взаимно простой со своей производной и некоторый показатель для которого Тогда существуют полиномы с коэффициентами из для которых так Для каждого из положим

Очевидно, что является гомоморфизмом алгебры в себя. С помощью формулы Тейлора находим

откуда следует, что Итерируя последнее соотношение, получаем

Выберем число так, что тогда будем иметь

Так как то для каждого имеем следовательно, для всех целых Из того, что заключаем по индукции, что

Положим теперь тогда

и поскольку делится на полином Так как делится на то Положив убеждаемся, что эндоморфизм нильпотентен. Эндоморфизмы являются полиномами от эндоморфизма X и, следовательно, перестановочны между собой. Согласно предложению 5, эндоморфизм 5 полупростой.

Пусть теперь полупростой эндоморфизм, нильпотентный эндоморфизм, перестановочный с эндоморфизмом и пусть Тогда Так как 5 перестановочен с то он перестановочен с эндоморфизмом и также с эндоморфизмом который, как мы видели, является полиномом от Аналогичным образом заключаем, что перестановочен с Из предложения 4 следует, что эндоморфизм и полупрост и нильпотентен. Из леммы 2 вытекает, что Теорема 7 доказана.

Определение 4. При тех же обозначениях, что и в формулировке теоремы 7, эндоморфизмы называются соответственно полупростой и нилъпотентной компонентами эндоморфизма

Предложение 6. Пусть X — эндоморфизм конечномерного векторного пространства V над совершенным полем —соответственно полупростая и нильпотентная компоненты эндоморфизма подпространство пространства V, допустимое относительно эндоморфизма ограничение эндоморфизма X на пространство эндоморфизм, индуцируемый X в фактор-пространстве Тогда эндоморфизмы отображают подпространство в себя; их ограничения на пространство являются соответственно полупростой и нилъпотентной компонентами эндоморфизма эндоморфизмы индуцируемые эндоморфизмами в фактор-пространстве суть соответственно полупростая и нильпотентная компоненты эндоморфизма

Первое утверждение непосредственно вытекает из того факта, что записываются в виде полиномов от Очевидно,

что и кроме того, перестановочен с Согласно теореме 5, эндоморфизмы — полупростые; то, что нильпотентны, тривиально. Отсюда следуют остальные утверждения предложения 6.

Предложение 7. Пусть X — эндоморфизм конечномерного векторного пространства V над совершенным полем К, и пусть совершенное надполе поля К. Полупростой и нильпотентной компонентами эндоморфизма пространства продолжающего эндоморфизм X, являются соответственно эндоморфизмы и продолжающие соответствующие эндоморфизмы

Ясно, что и что эндоморфизмы и перестановочны. Согласно предложению 1, эндоморфизм полупростой, а эндоморфизм очевидно, нильпотентен. Тем самым предложение 7 доказано.

Напомним, что представлением группы называется гомоморфизм группы в группу обратимых эндоморфизмов конечномерного векторного пространства Задавая представление группы с пространством представления V, мы определяем над пространством V структуру векторного пространства с операторами. Мы будем называть представление простым (соответственно полупростым), если так определенное векторное пространство V с операторами простое (соответственно полупростое). Пусть теперь надполе основного поля К. Пространство является естественным образом также векторным пространством с операторами, имеющим группу О областью операторов: а именно, каждому сопоставляется эндоморфизм пространства продолжающий эндоморфизм Очевидно, что также является представлением; мы будем говорить, что это представление получается из представления расширением основного поля. Если поле К совершенно, то необходимым и достаточным условием полупростоты представления является полупростота представления (теорема 6); с другой стороны, существуют многочисленные примеры, показывающие, что представление может быть простым, в то время как представление не простое.

Если V — конечномерное векторное пространство, то множество эндоморфизмов пространства V можно превратить

в алгебру Ли, введя умножение по формуле

Такую алгебру Ли мы будем обозначать через Пусть любая алгебра Ли над тем же основным полем, что и Как известно, представлением алгебры Ли называется гомоморфизм алгебры в алгебру При этом V называется пространством представления Заданием представления алгебры Ли на пространстве V определяется структура пространства с операторами с множеством в качестве области операторов. О представлении говорят, что оно простое (соответственно полупростое), если простым (соответственно полупростым) является пространство с операторами Предположим, что дано надполе основного поля К пространства в пространстве определена структура пространства с операторами с множеством в качестве области операторов Но область операторов можно естественным образом расширить до алгебры получающейся из алгебры расширением основного поля. Действительно, пусть пространство всех эндоморфизмов пространства и пусть В — базис пространства В является также базисом пространства Как известно, существует линейное отображение пространства в пространство совпадающее с отображением на базисе В. Так как отображение алгебры в пространство эндоморфизмов пространства V линейно, легко заключить, что отображение совпадает с на алгебре т. е. является продолжением Кроме того, представление алгебры Действительно, билинейное отображение

произведения в пространство равно нулю на а следовательно, и на Мы будем говорить, что представление, получающееся из представления расширением основного поля. Операторы векторного пространства с операторами — линейные комбинации с коэффициентами из операторов пространства Отсюда можно заключить, что пространство полупростое тогда и только тогда, когда полупростое. При помощи теоремы

6 мы убеждаемся, что если представление алгебры полупростое, то то же верно и для представления алгебры Обратно, если полупростое и если поле К совершенно, то и представление полупростое.

Пусть дано конечномерное векторное пространство V над полем вещественных чисел. Задание некоторого базиса В пространства V устанавливает изоморфизм пространства V на векторное пространство Изоморфизм 1в определяет топологию в пространстве V, а именно ту, при которой отображение 1в является гомеоморфизмом пространства V на пространство Всякий эндоморфизм пространства V непрерывен в этой топологии. Если вместо В выбрать другой базис, то изоморфизм 1в переходит в некоторый изоморфизм вида где автоморфизм пространства Это показывает, что наша топология в пространстве V не зависит от выбора базиса. Пусть теперь пространство эндоморфизмов пространства Так как конечномерное пространство, то на нем определена указанная выше топология. Легко видеть, что эта топология совпадает с топологией простой сходимости: последовательность сходится в к X тогда и только тогда, когда для любого последовательность сходится к в пространстве Пусть группа автоморфизмов пространства топология пространства индуцирует топологию в группе для которой оказывается топологической группой. Каждому выбору базиса в пространстве V соответствует изоморфизм топологической группы на группу обратимых матриц степени с вещественными коэффициентами. Это показывает, что группа Ли. Алгебра Ли группы это алгебра Ли вещественных матриц степени она, очевидно, изоморфна определенной выше алгебре Итак, каждому базису В пространства V соответствует изоморфизм алгебры Ли группы на алгебру Ли Пусть X — элемент алгебры Ли группы соответствующий элемент из Очевидно, что элемент из (ср. том I, гл. как раз является суммой ряда сходящегося в пространстве Это показывает, что изоморфизм алгебры Ли группы на не зависит от выбора базиса. Посредством этого изоморфизма мы отождествим алгебры Ли группы и

Пусть теперь группа Ли, и пусть вещественное представление группы основным полем пространства представления является поле вещественных чисел). Представлению соответствует представление алгебры Ли группы с тем же самым пространством представления V (ср. том I, гл. IV, § VI).

Предложение 8. Пусть связная группа Ли, вещественное представление группы пространство представления соответствующее представление алгебры Ли группы Пространство представления группы и пространство представления алгебры имеют одни и те же допустимые подпространства. В частности, представление простое (соответственно полупростое) тогда и только тогда, когда тем же свойством обладает представление

Пусть подпространство пространства Предположим сначала, что отображается в себя операторами Пусть X — элемент алгебры элемент из Для всякого вещественного числа имеем

так что

Но для всех вещественных Так как все подпространства пространства V замкнуты, то отсюда следует, что Это показывает, что пространство допустимо относительно операторов Предположим, наоборот, что выполнено последнее условие. Если то для всех так что поскольку подпространство замкнуто. Мы видим, что для элементов из вида где операторы отображают пространство в себя. Но множество элементов этого вида образует окрестность единицы группы и, так как связна, является системой образующих группы Отсюда непосредственно следует, что для всех оператор отображает пространство в себя. Предложение 8 доказано.