§ 10. Примеры

I. Пусть К — поле характеристики и пусть В — невырожденная билинейная форма над Обозначим через группу автоморфизмов пространства V, оставляющих форму В инвариантной. Так же как и в § 7, выберем базис пространства V и отождествим точки пространства (или же где некоторое надполе поля К) с матрицами, соответствующими этим точкам в выбранном базисе: Так же как и в § 7, представим и билинейную форму матрицей; будем обозначать ее той же буквой В. Пусть — пространство элементов X из удовлетворяющих уравнению В § 7 мы показали, что размерность этого пространства равна размерности группы Покажем теперь, что алгебра Ли группы Пусть — общая точка алгебраической компоненты единицы группы и пусть Если X — элемент алгебры

Ли группы то существует деривация поля для которой Так как коэффициенты матрицы В принадлежат полю К то с другой стороны, ясно, что

Так как обобщенная точка группы то из леммы 2 § 8 следует, что

Так как обратимые эндоморфизмы, то т. е. Следовательно, Но размерность алгебры равна размерности группы и тем самым размерности пространства Отсюда заключаем, что

И. Предположим теперь, что на пространстве V определена структура алгебры (ассоциативной или неассоциативной). Пусть группа автоморфизмов этой алгебры. Чтобы автоморфизм 5 пространства V принадлежал группе необходимо и достаточно, чтобы для всех линейных функций и над пространством и для всех пар элементов пространства Но для заданных элементов х, у и отображение 5 - и есть, очевидно, полиномиальная функция над Следовательно, алгебраическая группа. Пусть X — элемент алгебры Ли группы Пусть — общая точка алгебраической компонёнты единицы группы и пусть Далее, пусть деривация поля для которой — точки пространства Имеем Как легко видеть, для всех Кроме того, если и -точки пространства то как это непосредственно следует из того факта, что координаты точки (относительно некоторого базиса) выражаются в виде билинейных функций координат точек и Следовательно,

Последняя формула справедлива для любых точек х и у пространства [так как обе части равенства билинейно зависят от пары Но для заданных точек х и у пространства всегда можно найти такие точки х и у из что Отсюда получаем равенство

которое показывает, что X — деривация алгебры Позже мы покажем, что в случае поля К характеристики всякая деривация алгебры V принадлежит алгебре Ли группы Но в случае поля К характеристики последнее утверждение не всегда верно. Действительно, пусть К — несовершенное поле, и пусть а — элемент поля являющийся степенью в К. Положим Хорошо известно, что так определенная алгебра V обладает деривациями но что, с другой стороны, единственный автоморфизм этой алгебры — тождественное отображение. Мы видим, что в рассматриваемом случае алгебра дериваций алгебры V не может быть алгеброй Ли группы автоморфизмов алгебры Очевидно, что алгебра Ли группы всех автоморфизмов пространства V совпадает со всем пространством Пусть теперь - группа унимодулярных автоморфизмов (т. е. автоморфизмов с определителем 1) пространства Ясно, что алгебраическая группа. Покажем, что ее алгебра Ли состоит из эндоморфизмов пространства V, след которых равен 0. Пусть внешняя алгебра над Всякий автоморфизм пространства V продолжается в унитарный авто-, морфизм алгебры и отображение рациональное представление группы автоморфизмов пространства V (ср. предложение 10 § 4 гл. I). Пусть X— элемент алгебры Ли группы тогда оператор элемент алгебры Ли группы автоморфизмов алгебры Следовательно, деривация алгебры (ср. рассмотренный выше пример II). Пусть общая точка алгебраической компоненты единицы группы Обозначим через размерность векторного пространства V, а через и — базисный элемент пространства однородных элементов степени алгебры Определитель элемента равен 1, так что Если деривация поля для которой то (теорема, 6 § 9). С другой стороны, имеем так что . Но легко убедиться, что деривация алгебры продолжающая эндоморфизм В силу предложения 9 § 5 гл. I, имеем С другой стороны, размерность группы будет

Действительно, пусть общая точка группы всех автоморфизмов пространства V, и пусть а — определитель элемента Можно найти алгебраическое расширение поля в котором а является степенью некоторого элемента при этом ясно,

что обобщенная точка группы Так как то алгебраическая размерность точки равна превосходит размерность точки самое большее на единицу, что и доказывает наше утверждение. Так как, с другой стороны, размерность прострднства тех автоморфизмов, след которых равен 0, как раз равна то отсюда вытекает, что это пространство совпадает с алгеброй Ли группы Пусть и подпространства пространства V, причем Автоморфизмы пространства V, для которых при всех очевидно, образуют некоторую группу Если линейная функция над V, равная нулю на пространстве и если то очевидно, есть линейная функция над пространством обозначим ее через Элементами группы являются те автоморфизмы пространства V, для которых для всех функций Следовательно, группа алгебраическая. Выберем базис пространства линейных функций над содержащий базис подпространства, порожденного функциями Тогда всякую Полиномиальную функцию над пространством можно представить в виде полинома от функций и Кроме того, для любых заданных элементов всегда существует эндоморфизма пространства V для которого Отсюда легко заключить, что идеал, соответствующий группе порождается функциями Если X — элемент алгебры Ли группы то отображение является функцией Так как эта функция принадлежит идеалу, соответствующему группе то она принимает значение для тождественный автоморфизм пространства V). Но тогда для всех и для всех линейных функций над V, обращающихся в нуль на подпространстве Отсюда непосредственно вытекает, что эндоморфизм X отображает пространство в пространство Пусть, наоборот, X — эндоморфизм пространства V, отображающий пространство в Если то так что для всех функций равных нулю на пространстве Отсюда следует, что элемент

принадлежит идеалу а, соответствующему группе следовательно, элемент отображает идеал а в себя

(предложение 3 § 3 гл. I), так что X принадлежит алгебре Ли группы Мы видим, что алгебра Ли группы состоит из всех эндоморфизмов X пространства V, отображающих пространство в пространство

V. Предположим теперь, что характеристика основного поля К отлична от нуля. Пусть V — трехмерное векторное пространство над и пусть базис этого пространства. Для элементов некоторого надполя поля К определим эндоморфизм пространства условиями

Для элементов из имеем

Эндоморфизмы соответствующие элементам из для которых очевидно, образуют группу автоморфизмов пространства Легко убедиться, что неприводима и обладает общей точкой где и элементы некоторого надполя поля алгебраически независимые относительно К. Пусть —эндоморфизмы пространства V, определенные формулами

Если частные деривации по в поле то

из последних равенств вытекает, что эндоморфизмы принадлежат алгебре Ли группы Так как размерность группы равна 2, то алгебра Ли этой группы состоит из линейных комбинаций элементов Но эндоморфизмы перестановочны, так что порождаемая ими и элементом 1 ассоциативная алгебра коммутативна. С другой стороны, группа не абелева, так что оболочка группы заведомо отлична от ассоциативной алгебры, порожденной 1 и алгеброй Ли (ср. замечание к доказательству предложения 6 § 8). Заметим, что эндоморфизм перестановочен с эндоморфизмом X и что Таким образом, наименьшая алгебраическая группа, содержащая образ группы при присоединенном представлении, имеет размерность 1, тогда как образ алгебры Ли при присоединенном представлении совпадает с Мы видим, что ядро присоединенного

представления алгебры содержит элементы, не принадлежащие алгебре Ли ядра присоединенного представления группы G (ср. предложение 4 § 9). Кроме того, присоединенное представление алгебры не отображает эту алгебру на алгебру Ли наименьшей алгебраической группы, содержащей образ группы при присоединенном представлении (ср. предложение 5 § 9). Наконец, элементы вида не принадлежат центру группы между тем как они находятся в ядре присоединенного представления группы предложение 8 из § 9). Обозначим через эндоморфизм пространства V, определенный условиями

Тогда легко проверить, что эндоморфизмы для из образуют неприводимую группу автоморфизмов пространства V и что алгебра Ли группы совпадает с алгеброй Ли группы Позже мы покажем, что две неприводимые алгебраические группы автоморфизмов конечномерного пространства над полем характеристики 0, имеющие одну и ту же алгебру Ли, совпадают.