§ 7. Специализации

Пусть V — векторное пространство над бесконечным полем надполе поля К. Всякая полиномиальная (или рациональная) функция над пространством V одним и только одним способом продолжается в некоторую полиномиальную (или рациональную) функцию над пространством Условимся в этом параграфе обозначать одной и той же буквой как заданную функцию, так и ее продолжение на пространство Равным образом, если рациональное отображение пространства V в векторное пространство над К, то той же буквой мы будем обозначать отображение пространства в пространство продолжающее отображение

Если 5 — точка пространства пробегает множество полиномиальных функций над пространством V, то совокупность элементов поля представимых в виде образует подкольцо поля которое мы обозначим через это кольцо, очевидно, порождается элементами поля К и значениями линейных функций над пространством V в точке 5 (эти линейные функции продолжаются в линейные функции над Далее, обозначим через поле отношений кольца поле состоит из всех значений, принимаемых в точке 5 всеми рациональными функциями над V, определенными в Для имеем

Определение 1. Пусть V — векторное пространство над бесконечным полем два его надполя; пусть точка пространства и точка пространства Мы будем называть точку специализацией точки по отношению к полю К, если выполняется следующее условие: для всех полиномиальных функций над V, для которых имеет место также равенство Если из двух точек каждая является специализацией другой, то мы называем общей специализацией точки общей специализацией точки

Совершенно очевидно, что если специализация точки 5 по отношению к полю а точка также надполе поля К) — специализация точки то специализация точки Пусть подполе поля если специализация точки 5 по отношению к полю [это выражение имеет смысл, так как ], то точка также является специализацией точки 5 по отношению к полю ; обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Предположим, что точка специализация точки 5 по отношению к полю К. Для всякой полиномиальной функции над пространством V значение принимаемое функцией в точке зависит только от значения функции в точке Таким образом определяется отображение кольца в кольцо для которого для всех полиномиальных функций над Очевидно, что это отображение является гомоморфизмом кольца на кольцо гомоморфизм будет изоморфизмом тогда и только тогда, когда общая специализация точки Часто оказывается удобным продолжить гомоморфизм используя следующую лемму:

Лемма 1. Пусть — подкольцо поля гомоморфизм кольца в поле Пусть множество элементов поля представимых в виде где х и у — элементы из и где Тогда множество кольцо и гомоморфизм может быть продолжен в однозначно определенный гомоморфизм кольца в поле

Пусть — элементы из , такие, что Тогда и

Следовательно, кольцо. Кроме того, если то так что

Поэтому гомоморфизм можно продолжить в отображение кольца в поле положив

Выведенные формулы показывают, что гомоморфизм, и легко убедиться, что это единственный гомоморфизм кольца в поле продолжающий гомоморфизм

Определение 2. При тех же обозначениях, что и в определении 1, предположим, что точка является специализацией точки по отношению к полю К. Кольцо х элементов из вида где полиномиальные функции над пространством V и где называется кольцом специализации гомоморфизм этого кольца в отображающий элемент на элемент называется гомоморфизмом, соответствующим специализации

Заметим, что в случае общей специализации кольцо специализации совпадает с полем а соответствующий гомоморфизм оказывается изоморфизмом поля на поле

Определение 3. Пусть V — векторное пространство над полем надполе поля точка пространства Степень трасцендентности поля над полем К называется алгебраической размерностью точки над полем К.

Предложение. 1. Пусть V — векторное пространство над бесконечным полем два его надполя, 5 — точка пространства точка пространства являющаяся специализацией точки по отношению к полю К. Тогда алгебраическая размерность точки не больше алгебраической размерности точки равенство является необходимым и достаточным условием для того, чтобы точка была общей специализацией точки

Известно, что всякое подмножество А поля порождающее поле над полем К, содержит базис

трансцендентности поля относительно К (Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 5, п° 2, теорема 2). Кольцо содержит, следовательно, элементов алгебраически независимых относительно К. Если гомоморфизм, соответствующий специализации то отображает кольцо на кольцо Пусть элементы из для которых Для любого полинома от переменных с коэффициентами из К имеем

Отсюда вытекает, что для так что элементы поля алгебраически независимы относительно К, что доказывает неравенство Кроме того, мы видим, что ограничение гомоморфизма на кольцо оказывается изоморфизмом этого кольца в кольцо отсюда непосредственно следует, что поле отношений кольца содержится в кольце специализации и что индуцирует изоморфизм поля на некоторое подполе поля Если общая специализация, то изоморфизм поля на поле так что Предположим, наоборот, что Так как элементы алгебраически независимы, то поле алгебраическое расширение поля Пусть элемент поля отличный от нуля; тогда х является корнем неприводимого уравнения где полином с коэффициентами из со свободным членом, отличным от нуля. Пусть полином, получающийся из заменой коэффициентов их образами при гомоморфизме Для имеем так что поскольку свободный член полинома отличен от нуля. Мы видим, что гомоморфизм индуцирует изоморфизм поля и что, следовательно, общая специализация точки

Предложение Пусть векторные пространства конечной размерности над алгебраически замкнутым полем надполе поля точка произведения Пусть полиномиальная функция над для которой Тогда существует полиномиальная функция над V, для которой обладающая

следующим свойством: если специализация точки и если то существует точка для которой такая, что специализация точки

Докажем сначала следующую лемму:

Лемма 2. Пусть К — алгебраически замкнутое поле, надполе поля К, о — подкольцо в - элементы из о — кольцо элемент Тогда существует элемент обладающий следующим свойством: всякий гомоморфизм кольца в поле К, для которого может быть продолжен в гомоморфизм кольца в поле К, для которого

Рассмотрим сперва случай и положим Введем алгебру полиномов от переменной X с коэффициентами из поля и подкольцо алгебры Существует гомоморфизм кольца на кольцо , отображающий элементы из в себя и X в . Пусть ядро гомоморфизма Кроме того, для всякого элемента а поля К каждый гомоморфизм кольца в поле К продолжается в гомоморфизм кольца в поле К у для которого Если переводит идеал то он индуцирует при переходе в фактор-кольцо гомоморфизм кольца в поле К. Тогда существует гомоморфизм кольца в поле К, продолжающий отображение и переводящий элемент и в элемент а. Пусть и пусть -некоторый гомоморфизм кольца в поле Обозначим через полином, получающийся из полинома заменой коэффициентов их образами при гомоморфизме Предположим теперь сначала, что и — трансцендентный элемент над полем отношений кольца По меньшей мере один из элементов например не равен нулю. Положим и пусть -гомоморфизм кольца в поле для которого Всегда можно найти элемент для которого и так как в этом случае то существует гомоморфизм кольца в продолжающий гомоморфизм и переводящий элемент ива. Тогда ясно, что Пусть теперь и — алгебраический элемент над . Тогда существует неприводимый полином

из для которого Мы можем предположить, что О принадлежит кольцу в противном случае этого можно достигнуть умножением О на подходящий элемент изо. Пусть коэффициент при наивысшей степени X в полиноме О. С другой стороны, алгебраический элемент относительно и является, следовательно, корнем некоторого уравнения где -неприводимый полином из о котором можно предположить, что он принадлежит к кольцу Так как то элемент кольца не равен нулю; положим Пусть - гомоморфизм кольца в поле К, такой, что Полином тогда не сводится к постоянной, и, так как К — алгебраически замкнутое поле, существует элемент а из для которого Покажем, что отображает идеал Если , то делится на полином О в известно, что из этого вытекает существование такого показателя для которого делится на полином в кольце Отсюда непосредственно следует, что делится на полином так что так как что и доказывает наше утверждение. Следовательно, существует гомоморфизм кольца в поле продолжающий гомоморфизм и переводящий элемент и в элемент а. Но тогда так что поскольку

Лемма 2 доказана, таким образом, для случая Предположим теперь, что Положим

так что

Используя результат, доказанный для случая мы видим, что можно последовательно находить элементы со следующими свойствами: отличный от элемент из для каждый гомоморфизм кольца , не переводящий элемент в нуль, может быть продолжен в гомоморфизм кольца в поле К, не переводящий элемент в 0. Тогда ясно, что элемент кольца обладает требуемыми свойствами. Лемма 2 полностью доказана.

Опираясь на эту лемму, мы можем теперь доказать предложение 2. Ясно, что можно построить кольцо присоединяя конечное число элементов к кольцу (в качестве таких элементов можно, например, взять координаты элемента относительно некоторого базиса пространства V). Положим Тогда существует элемент из такой, что всякий гомоморфизм кольца в поле не отображающий элемент х в 0, продолжается в гомоморфизм кольца в поле не переводящий в элемент Так как то х представим в виде где - полиномиальная функция над Если точка пространства V — специализация точки то существует гомоморфизм кольца в поле отображающий элемент на (где -любая полиномиальная функция над V). Если то этот гомоморфизм продолжается в гомоморфизм кольца в поле не переводящий элемент в нуль. Этот гомоморфизм отображает координаты элемента (относительно некоторого базиса пространства V) в элементы поля являющиеся координатами некоторой точки Тогда ясно, что специализация точки и что Предложение 2 доказано.