§ 3. Неприводимые группы

Определение 1. Алгебраическая группа автоморфизмов пространства V называется неприводимой, если соответствующий ей идеал — простой.

Теорема 2. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов векторного пространства Существует одна и только одна алгебраическая подгруппа группы неприводимая и конечного индекса в Группа нормальный делитель группы Пусть I — единица группы Если две полиномиальные функции над пространством , такие, что функция равна нулю на но то функция равна нулю на Кроме того, существует полиномиальная функция для которой что идеал, соответствующий группе состоит из всех функций таких, что обращается в нуль на

Пусть а — идеал, соответствующий группе Обозначим через множество всех полиномиальных функций для которых существует некоторая полиномиальная функция со следующими свойствами: обращается в нуль на группе Покажем, что идеал в Совершенно ясно, что произведение какого-нибудь элемента из на элемент из принадлежит Пусть, с другой стороны, элементы множества и пусть полиномиальные функции, для которых тогда и так что что и доказывает наше утверждение. Идеал очевидно, содержит идеал а.

Так как алгебра изоморфна алгебре полиномов от конечного числа переменных с коэффициентами из К, то всякий ее идеал обладает конечной системой образующих. Пусть система образующих идеала пусть для каждого полиномиальная функция, такая, что Положим Тогда имеем Кроме того, всякий элемент из записывается в виде где

принадлежат Отсюда следует, что Таким образом, идеал состоит из всех для которых

Пусть — множество всех автоморфизмов 5 пространства V, таких, что для всех Так как то подмножество группы Покажем, что группа; тогда она будет, конечно, и алгебраической группой. Пусть элемент из элемент из Тогда так что а (ср. определение 3 и предложение 2 § 1). Если то так что Итак, для всякого функция принадлежит идеалу и тем самым равна нулю на Если теперь то отображение принадлежит идеалу а; так как то это означает, что функция принадлежит идеалу следовательно, равна нулю на множестве Отсюда мы непосредственно заключаем, что произведение двух элементов множества опять принадлежит множеству Используя предложение 2 из § 1 и учитывая, что состоит из всех точек, в которых равны нулю все функции, содержащиеся в идеале мы убеждаемся, что алгебраическая группа. Если — элемент группы для которого то для всех так что Отсюда следует, что если полиномиальная функция равна нулю на группе то равна нулю в каждой точке группы так что Это показывает, что идеал, соответствующий группе

Покажем теперь, что идеал простой. Пусть полиномиальные функции, для которых Тогда для некоторого Функция принадлежит Функция не равна нулю в точке а произведение этой функции на принадлежит идеалу а, согласно определению идеала Следовательно, тогда и принадлежит Этим доказано, что — простой идеал и неприводимая группа.

Пусть идеал, порожденный в алгебре всеми функциями вида где пробегает элементы группы Идеал обладает конечной системой образующих Положим где точки группы О. Так как то функция не равна нулю в точке Следовательно, ни в одной точке

группы О все функции из идеала не могут быть одновременно равны нулю. Значит, в каждой точке группы по крайней мере одна из функций не равна нулю, так что для не равен нулю по меньшей мере один из элементов Но, как мы видели выше, всякая точка группы в которой не равна нулю, принадлежит группе Отсюда следует, что любая точка группы принадлежит по меньшей мере одному из классов так что группа конечного индекса в группе

Пусть, наоборот, неприводимая алгебраическая подгруппа конечного индекса группы и пусть соответствующий группе идеал. Очевидно, что содержит а, но не содержит (так как Если то так что следовательно, поскольку — простой идеал. Таким образом, Пусть теперь все различные правые классы группы по подгруппе Для точка не принадлежит группе и поэтому существует функция такая, что

Пусть произведение всех функций тогда, с одной стороны, с другой — обращается в нуль на всех множествах Пусть элемент идеала так как равен нулю на то равен нулю на Из определения идеала следует, что Таким образом, так что

Пусть любой элемент группы Если -некоторый элемент алгебры то функция

очевидно, есть полиномиальная функция на и ясно, что отображение является автоморфизмом алгебры Этот автоморфизм переводит идеал в простой идеал соответствующий подгруппе наоборот, все точки группы в которых обращаются в нуль все функции из принадлежат группе Таким образом, алгебраическая неприводимая подгруппа конечного индекса группы следовательно, совпадает с подгруппой Это показывает, что нормальный делитель группы

Определение 2. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства Неприводимая подгруппа конечного индекса группы называется алгебраической компонентой единицы группы а классы смежности группы по нормальному делителю называются алгебраическими компонентами группы

Предложение 1. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов векторного пространства V, и пусть основное поле К пространства V будет или полем вещественных, или полем комплексных чисел. Алгебраическая компонента единицы группы содержит тогда связную компоненту единицы (в смысле естественной топологии пространства

Всякая алгебраическая группа является, очевидно, замкнутой подгруппой группы всех автоморфизмов пространства Отсюда вытекает, что замкнутая подгруппа группы и что всякий класс группы по подгруппе замкнут в Так как подгруппа конечного индекса, то она является дополнением в объединения конечного числа замкнутых множеств. Это показывает, что не только замкнутая, но и открытая подгруппа, откуда непосредственно следует, что она содержит группу

Если К — поле вещественных чисел, то возможен случай Примером может служить Действительно, группе соответствует нулевой идеал, и так как этот идеал простой, то в этом случае имеем С другой стороны, известно, что это группа автоморфизмов с определителем

Напротив, в случае, когда К — поле комплексных чисел, можно доказать, что

Предложение 2. Пусть конечномерные векторные пространства над одним и тем же основным полем. Пусть алгебраические неприводимые группы автоморфизмов пространств соответственно. Тогда алгебраическая группа автоморфизмов пространства неприводима.

Утверждение предложения 2 легко вытекает из следующей леммы:

Лемма 1. При таких же обозначениях, как в лемме 2 § 1, предположим, что идеалы и а — простые; тогда и простой идеал.

Пусть элементы алгебры такие, что Для элемента используем те же обозначения, что и в доказательстве леммы 2 § 1. Для некоторой точки из имеем Полиномиальная функция обращается в нуль на множестве т. е. принадлежит идеалу а, между тем как функция этому идеалу не принадлежит. Отсюда следует, что если то функция принадлежит идеалу а, так что Поэтому все полиномиальные функции элементы идеала Если теперь любая точка множества то функция принадлежит идеалу а. Но если точка пространства в которой функция не равна нулю, то функция не содержится в а. Отсюда заключаем, что функции принадлежат а, так что Этим доказано, что простой идеал.

Предложение 3. Пусть группа автоморфизмов пространства Предположим, что содержит алгебраическую подгруппу конечного индекса. Тогда алгебраическая группа.

Действительно, пусть а — идеал, соответствующий группе и пусть — автоморфизм пространства V, такой, что для всех Покажем, что Пусть правые классы группы по подгруппе Если не принадлежит группе то ни один из элементов не содержится в и для каждого существует полиномиальная функция равная нулю на и такая, что Положим Тогда ясно, что обращается в нуль на группе но что невозможно. Это противоречие доказывает предложение 3.

Следствие. Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, и пусть алгебраическая компонента единицы группы Для того чтобы подгруппа группы была алгебраической группой, необходимо

а достаточно, чтобы пересечение было алгебраической группой.

Это утверждение непосредственно вытекает из предложения 3.