Глава II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

Обозначения. На протяжении всей главы мы будем употреблять следующие обозначения:

К — поле с бесконечным числом элементов;

V — конечномерное векторное пространство над полем - векторное пространство эндоморфизмов пространства алгебра полиномиальных функций над 6 (ср. гл. I § 4).

Если надполе поля то будет обозначать векторное пространство, получающееся из V расширением основного поля. Если X — эндоморфизм пространства V, то той же буквой X мы обозначим эндоморфизм пространства продолжающий иначе говоря, мы отождествим множество 6 с подмножеством пространства эндоморфизмов пространства Пусть -базис пространства V, и пусть — эндоморфизм пространства V, отображающий элемент в при Тогда любой элемент из представим в виде где Мы будем называть элементы координатами эндоморфизма 5 [относительно базиса и будем говорить, что линейных функций определенных на образуют систему координатных функций. Алгебру можно рассматривать как алгебру полиномов от (гл. I, § 4, следствие 1 предложения 4). Если надполе поля К, то эндоморфизмы также образуют базис для пространства эндоморфизмов пространства Мы можем, следовательно, отождествить это пространство эндоморфизмов с пространством получающимся из пространства расширением основного поля до поля Если рациональная функция над пространством то той же буквой мы обозначим рациональную функцию над

пространством продолжающую функцию В частности, совокупность эндоморфизмов можно рассматривать как систему координатных функций для Алгебра полиномиальных функций над пространством совпадает с алгеброй полиномов от с коэффициентами из мы отождествим эту алгебру с алгеброй, получающейся из о (6) расширением основного поля. Пусть -элемент пространства подкольцо поля получающееся присоединением координат эндоморфизма 5 (по отношению к какому-нибудь базису пространства У), будет обозначаться через (ясно, что это кольцо от выбора базиса пространства V не зависит); поле отношений кольца обозначим через