§ 13. О некоторых абелевых алгебраических группах

Напоминаем, характеристика поля время предполагается равной нулю.

Рассмотрим сперва нильпотентный элемент алгебры Пусть кольцо формальных рядов от переменной с коэффициентами из поля К. Если показатель, для которого то

Это показывает, что содержится в подкольце кольца . В действительности даже если самом деле, пусть наименьший показатель

для которого Если то пусть такой элемент пространства V, что ; если то пусть у — такой элемент пространства V, для которого и пусть тогда так что

Пусть и — линейная функция над пространством V, для которой тогда

откуда, очевидно, . С другой стороны, для любого элемента а из поля К положим

Покажем, что для а и а! из К имеет место равенство

Пусть V — кольцо формальных рядов от двух переменных с коэффициентами из поля К. Из формулы (2) § 11 тогда следует, что

Пусть какая-нибудь линейная функция над пространством Тогда ясно, что полином от и что значение этого полинома в точке а. Итак,

Но так как эта формула справедлива для всех линейных функций то

Если то тождественный автоморфизм пространства Поэтому Элементы для образуют группу автоморфизмов пространства V, изоморфную аддитивной группе поля К.

Предложение 1. Пусть нильпотентный эндоморфизм пространства Автоморфизмы для образуют неприводимую алгебраическую группу алгеброй Ли этой группы является подпространство пространства

порожденное эндоморфизмом Группа содержится во всех алгебраических группах автоморфизмов пространства V, алгебра Ли которых содержит эндоморфизм

Для того чтобы полиномиальная функция над пространством обращалась в нуль во всех точках группы необходимо и достаточно, чтобы (так как -бесконечное поле). Пусть а — идеал, состоящий из функций удовлетворяющих этому условию, и пусть — эндоморфизм пространства V, такой, что для всех Тогда точка 5 — специализация точки Если то (тождественный автоморфизм пространства V), так что в этом случае Предположим Тогда, как мы видели,

Специализация определяет гомоморфизм кольца в поле К. Пусть а — образ элемента при этом гомоморфизме. Если линейная функция над то образ элемента равен элементу Отсюда следует, что Это показывает, что алгебраическая группа и что общая точка группы так что группа неприводима. Из теоремы 7 § 12 следует, что содержится в алгебре Ли группы Если то размерность группы равна нулю; если то и размерность группы равна 1. В обоих случаях алгебра Ли группы совпадает с векторным подпространством, порожденным эндоморфизмом Наконец, последнее утверждение предложения 1 вытекает из следствия 1 теоремы 8 § 12.

Пусть теперь X — любой элемент пространства . Основная цель настоящего параграфа — доказать, что среди всех алгебраических групп, алгебры Ли которых содержат элемент X, существует наименьшая. Мы последовательно рассмотрим различные частные случаи.

Предложение 2. Пусть эндоморфизм пространства V, такой, что существует базис пространства V, состоящий из собственных векторов эндоморфизма Положим Если элементы поля пусть эндоморфизм пространства V, отображающий Обозначим через А множество систем из целых чисел,

для которых и через множество всех элементов где элементы из К, отличные от нуля и такие, для всея

Тогда множество неприводимая алгебраическая группа; алгебра Ли этой группы содержит эндоморфизм всякая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, алгебра Ли которой содержит элемент содержит группу если с помощью переменной построить кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами из поля К, то общая точка группы Алгебра Ли группы состоит из всех эндоморфизмов где такие элементы поля К, для которых при всех

Для всех положим

Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия: для для всех Это показывает, что алгебраическая группа. Совершенно очевидно, что для всех целых Отсюда мы заключаем, что

Если полиномиальная функция над пространством то где полином с коэффициентами из поля К. Из леммы 5 § 11 сразу следует, что обращается в нуль на группе тогда и только тогда, когда но равен Как мы видим, общая точка группы следовательно, группа неприводима. Из теоремы 7 § 12 следует, что эндоморфизм принадлежит алгебре Ли группы Если теперь алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, алгебра Ли которой содержит эндоморфизм то обобщенная точка группы каждая точка

группы принадлежит группе так как является специализацией точки Алгебра Ли группы содержится в оболочке группы (предложение 6 § 8). Отсюда следует, что все элементы алгебры имеют вид где Положим ; для того чтобы элемент принадлежал алгебре необходимо, чтобы элемент был обобщенной точкой группы Пусть если то для всех Но элемент равен элементу

[согласно формуле (2) § 11]. Отсюда следует, что из условия вытекает равенство Предположим, наоборот, что выполнено последнее условие для всех Тогда группа состоящая из всех автоморфизмов где — элементы из такие, что для всех систем, для которых содержится в группе Но алгебра Ли группы содержит элемент следовательно, Предложение 2 доказано.

Лемма 1. При таких же обозначениях, как в предложении 2, пусть нильпотентный элемент алгебры перестановочный с элементом положим Элементы вида где образуют неприводимую алгебраическую абелеву группу автоморфизмов пространства Алгебра Ли группы содержит элемент содержится во всех алгебраических группах автоморфизмов пространства V, алгебры Ли которых содержат Точка общая точка группы Группа обладает таким собственным рациональным представлением, что всякая точка группы накрывается этим параметрическим представлением.

Так как элемент перестановочен с элементом то он перестановочен также со всеми степенями элемента следовательно, с элементом Так как

то для всех специализаций 5 точки в частности для всех Отсюда следует, что для элемент перестановочен со всеми элементами группы так что группа абелева. Покажем, что точками группы являются все автоморфизмы пространства V, которые получаются специализацией точки Положим тогда

Проверим, что кольцо содержится в кольце Пусть а — любой из элементов и пусть - пространство тех элементов для которых Тогда Для имеем так что Элемент индуцирует тем самым нильпотентный эндоморфизм в пространстве Отсюда вытекает, что существует вектор из для которого Таким образом, и

Элемент у можно включить в некоторый базис пространства если положить

то функции образуют систему координатных функций пространства и если то

так что Но тогда элементы принадлежат кольцу так что

Положим и покажем, что если то специализация точки по отношению к полю Элементы порождают подгруппу мультипликативной группы обратимых элементов кольца

формальных рядов от и, как известно, эта группа обладает таким базисом что элементы алгебраически независимы относительно поля К (лемма 2 § 11). Ясно, что С другой стороны,

Так как эндоморфизмы перестановочны, то

[формула (2) из § 11], так что Но так как -трансцендентный элемент по отношению к полю та существует гомоморфизм кольца на отображающий элементы из в себя, а элемент в а. Этот гомоморфизм определяет специализацию

точки по отношению к полю Так как

то что и доказывает наше утверждение. Если то 5 — специализация точки следовательно, специализация точки Пусть, наоборот, автоморфизм пространства V, являющийся специализацией точки Эта специализация определяет гомоморфизм кольца в поле К и, следовательно [так как специализацию точки Ясно, что специализация точки

Это показывает, что существует такой элемент а для которого так что (ср. предложение 1). Так как обратимые элементы, то тем же свойством обладает и элемент так что Таким образом, наше утверждение, что группа состоит из автоморфизмов пространства V, являющихся специализациями точки доказано. Отсюда следует, что есть неприводимая алгебраическая группа, а ее общая точка. Из теоремы 7 § 12 следует, что эндоморфизм X принадлежит алгебре Ли группы Если алгебраическая

группа автоморфизмов пространства V, алгебра Ли которой содержит эндоморфизм X, то обобщенная точка группы так что Поле содержит поле

Так как то также так что для (в начале этого параграфа мы видели, что для Таким образом, если то

а если

Тем самым мы получаем собственное рациональное представление группы с параметрами в случае и с параметрами при Если теперь

— точка группы то существует гомоморфизм группы, порожденной элементами в мультипликативную группу элементов поля К, переводящий элементы в элементы Этот гомоморфизм отображает элемент в некоторый элемент поля Существует гомоморфизм кольца на поле К, отображающий элементы поля в себя, переменную Отсюда теперь легко заключить, что каждая точка группы накрывается нашим параметрическим представлением.

Наша следующая цель — обобщить результаты леммы 1 на случай любого эндоморфизма X пространства Для этого нам понадобятся следующие рассмотрения.

Пусть - автоморфизм поля К, и пусть базис пространства Зафиксировав этот базис, автоморфизму можно следующим образом сопоставить отображение пространства V в себя, обозначаемое также буквой : для любого элемента пространства положим

Если теперь — эндоморфизм пространства V, то через мы обозначим эндоморфизм пространства V, отображающий

в Отображение очевидно, является автоморфизмом кольца ; но это не автоморфизм алгебры над полем К, так как для имеем Для полиномиальной функции над через мы обозначим отображение пространства в поле К. Отображение полиномиальная функция. Пусть, действительно, координатные функции над относительно базиса для имеем

Функцию можно представить в виде полинома от функций С другой стороны, для имеем отсюда мы заключаем, что

где полином, получающийся из полинома заменой коэффициентов этого последнего их образами при автоморфизме Отображение автоморфизм кольца но не автоморфизм структуры алгебры над полем К: для имеем Пусть теперь - любой элемент из При тех же обозначениях, что и выше, обозначим через частную производную полинома по переменной Пусть тождественный автоморфизм пространства Тогда

где Отсюда непосредственно следует, что

Пусть теперь О — алгебраическая группа автоморфизмов пространства идеал, соответствующий группе О. Множество очевидно, опять будет группой. Кроме того, эндоморфизм принадлежит группе тогда и только тогда, когда для всех Это показывает, что алгебраическая группа с соответствующим идеалом образом идеала а при отображении Для того чтобы элемент X пространства принадлежал алгебре Ли группы

необходимо и достаточно, чтобы для всех (предложение 1 § 8). Отсюда мы непосредственно заключаем, что алгеброй Ли группы является алгебра

Лемма 2. Пусть расширение Галуа конечной степени поля К, и пусть группа Галуа поля над полем К. Пусть порядок группы и пусть полиномы от переменных с коэффициентами из Предположим, что полиномы обладают следующими свойствами: элементы поля такие, функция не равна нулю при значениях своих аргументов, то полином обращается в нуль при этих значениях. Тогда полином тождественно равен нулю.

Введя в рассмотрение полином вместо полинома мы видим, что, не ограничивая общности, можно предположить, что Пусть - базис поля над полем К. Как известно, определитель порядка строками которого являются векторы

не равен нулю (Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 7, п° 2). Но тогда можно найти линейно независимых комбинаций переменных таких, что

Тогда можно представить в виде полинома от переменных Пусть -любые элементы из поля, положив

имеем

Из наших предположений следует, что полином обращается в нуль при значениях своих аргументов. Так как поле К бесконечно, то из этого следует, что откуда

Теорема 10. Для любого эндоморфизма X пространства V обозначим через пересечение всех алгебраических групп автоморфизмов, алгебры Ли которых содержат элемент Тогда неприводимая алгебраическая группа и ее алгебра Ли содержит эндоморфизм если образовать формальные степенные ряды от переменной с коэффициентами из поля К, то точка общая точка группы всякий элемент из представим в виде полинома от X с коэффициентами из поля К. Пусть полупростая и нильпотентная компоненты эндоморфизма Тогда группы и содержатся в группе и каждый элемент из однозначным образом представим в виде произведения элемента из на элемент из

Выберем некоторый эндоморфизм X пространства V, который останется неизменным на протяжении этого доказательства. Пусть его полупростая и нильпотентная компоненты. Пусть алгебраически замкнутое алгебраическое расширение поля мы знаем, что также будут полупростой и нильпотентной компонентами эндоморфизма X пространства (предложение 7 § 8 гл. I). Пространство обладает базисом состоящим из собственных векторов эндоморфизма (предложение 2 § 8 гл. I). Пусть, с другой стороны, - базис пространства тогда

Пусть надполе поля К, получающееся присоединением к полю К элементов и им сопряженных по отношению к полю К. Поле конечное нормальное расширение поля обозначим через его группу Галуа. Собственные векторы эндоморфизма принадлежат пространству Из леммы 1 следует существование алгебраической группы О автоморфизмов пространства алгебра Ли которой содержит эндоморфизм X и которая является наименьшей группой, обладающей этими свойствами. Положим тогда алгебраическая группа (лемма 1 § 5). Мы покажем, что

Несколько выше мы объяснили, как с помощью базиса пространства V каждому автоморфизму из группы можно сопоставить отображение пространства

в себя и автоморфизм кольца состоящего из полиномиальных функций над Покажем, что для всех Пусть алгебра Ли группы тогда, как известно, алгеброй Ли группы будет алгебра С другой стороны, так как то следовательно, Так как то также так что С другой стороны, из леммы 1 вытекает, что группа абелева. Таким образом, мы можем говорить о произведении конечного семейства элементов из указания порядка сомножителей). Для из положим Если любой элемент группы то - взаимно однозначное отображение группы на себя; отсюда заключаем, что Последнее равенство справедливо для всех так что Для доказательства равенства очевидно, достаточно показать, что всякая полиномиальная функция на которая обращается в нуль на группе обращается в нуль также на Положим для всех и образуем группу Если -полиномиальная функция на пространстве то

[где любой элемент из т. е. для всех полиномиальная функция на Если обращается в нуль на группе то построенная нами полиномиальная функция равна нулю на множестве элементов из вида Если мы убедимся, что -область единственности в то отсюда получим, что для всех элементов из Отсюда уже будет следовать, что обращается в нуль на (так как, конечно, можно выбрать где - единица группы для всех автоморфизмов кроме одного). Итак, для доказательства того, что достаточно показать, что область единственности в

Мы знаем, что группа обладает рациональным параметрическим собственным представлением (лемма 1). Пусть

координатные функции на соответствующие базису пространства V, и пусть параметры некоторого собственного рационального параметрического представления группы О. Тогда существует общая точка группы О, координаты которой являются рациональными функциями от с коэффициентами из поля Кроме того, элементы алгебраически независимы относительно поля и

Образуем расширение поля лрисоединением элементов алгебраически независимых над полем Если то автоморфизм поля можно продолжить в изоморфизм поля на поле отображающий элемент в элемент Этот изоморфизм мы также будем обозначать через Функции образуют также систему координатных функций над пространством пусть точка из для которой

Для любой полиномиальной функции над имеем Действительно, эта формула справедлива для случая, когда одна из координатных функций (так как она также справедлива, если Р - постоянная функция со значением так как тогда постоянное отображение С другой стороны, если формула верна для полиномиальных функций то она также верна и для Отсюда сразу следует, что формула справедлива для всех полиномиальных функций. Если полиномиальная функция обращается в нуль на группе то для имеем

так как Таким образом, и обращается в нуль на группе так что Это показывает, что обобщенная точка группы обобщенная точка группы С другой стороны, ясно, что

так что Алгебраическая размерность точки относительно поля равна, следовательно, порядок группы т. е. совпадает с размерностью группы Это показывает, что общая точка группы Пусть теперь -полиномиальная функция, равная нулю на определенном выше множестве чтобы доказать, что достаточно убедиться, что Но является рациональной функцией от с коэффициентами из поля В силу леммы 2, чтобы доказать, что достаточно доказать существование полинома от элементов со следующими свойствами: если элементы поля для которых

то функция определена для значений и равна при этих значениях нулю.

Так как алгебраически независимы относительно К, то для любых значений существует гомоморфизм кольца на поле переводящий элементы в себя, а элементы Из определения 1 § 7 непосредственно следует существование полинома от переменных с коэффициентами из поля такого, что всякая система элементов из для которой есть допустимая система параметров нашего параметрического представления группы О. В частности, из условия вытекает, что рациональные функции определены для значений своих аргументов. Но для имеем

где рациональная функция, получающаяся из заменой коэффициентов их образами при Следовательно, если то рациональные функции определены для значений своих аргументов. Отсюда вытекает, что функция определена для значений своих аргументов. Пусть, с другой стороны, точка группы О, соответствующая значениям параметров; тогда

Отсюда сразу заключаем, что

так как, по предположению, функция равна нулю на множестве Если тождественный автоморфизм поля то, как видно, полином обладает требуемыми свойствами.

Итак, мы доказали, что Кольцо формальных рядов от с коэффициентами из К можно рассматривать как подкольцо формальных рядов от с коэффициентами из Из леммы 1 следует, что общая точка группы О и, тем самым, обобщенная точка группы О. Кроме того, всякая точка из О принадлежит группе О и является, следовательно, специализацией точки по отношению к полю и тем более по отношению к полю К. Мы заключаем, что общая точка группы О, так что эндоморфизм X принадлежит алгебре Ли группы О. С другой стороны, если какая-либо алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, алгебра Ли которой содержит эндоморфизм X, то обобщенная точка группы Так как каждая точка группы специализация точки то она принадлежит группе Итак, Пусть -ассоциативная подалгебра алгебры 6, порожденная тождественным автоморфизмом и эндоморфизмом Обозначим через кольцо формальных рядов от с коэффициентами из поля К. Каждая линейная функция и на пространстве равная нулю на алгебре может быть продолжена в непрерывное линейное отображение пространства линейных комбинаций элементов из с коэффициентами из в кольцо При этом мы имеем для всех отсюда следует, что и так что и для всех Поэтому а это означает, что точка может быть представлена в виде полинома от X с коэффициентами из Из всего доказанного вытекает, что наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, алгебра Ли которой содержит полупростой эндоморфизм наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства алгебра Ли которой содержит эндоморфизм При этом группа состоит из элементов вида где (предложение 1). Пусть элемент группы в силу леммы 1 элемент можно представить в виде

где и Докажем, что такое представление единственно. Так как группа абелева, то достаточно показать, что из следует (где тождественный автоморфизм). Но если это условие выполнено, то также

для всех целых Если -полиномиальная функция на равная нулю на то полином от равный нулю для при всех целых Если то отсюда следует, что Тем самым обобщенная точка группы принадлежит алгебре Ли группы Но из предложения 2 мы усматриваем, что все элементы алгебры Ли группы полупростые, так что в этом случае что и доказывает наше утверждение. После всего сказанного имеем

для всех

Это показывает, что для всех так что следовательно, Теорема 10 полностью доказана.

Предложение 3. Пусть базис пространства Для элементов поля К обозначим через эндоморфизм пространства V, отображающий на Пусть множество эндоморфизмов пространства V вида Пусть произведение экземпляров групп, изоморфных аддитивной группе целых чисел. Для положим

и, если при этом все отличны от нуля,

Пусть алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, содержащаяся в А, и пусть - множество всех таких что для всех Тогда группа состоит из всех автоморфизмов пространства V, содержащихся в для которых

при всех Алгебра группы состоит из всех для которых при всех Если обозначить через алгебраическую компоненту единицы группы то группа изоморфна подгруппе, состоящей из всех элементов конечного порядка группы

Обозначим через алгебру Ли группы Как известно, алгебра содержится в оболочке группы так как подалгебра алгебры то Характеристика поля К равна 0, так что простое подполе Ко в поле К можно отождествить с полем рациональных чисел. Пусть множество элементов вида где рациональные числа. Тогда Покажем, что существует такое подпространство для которого Пусть X — любой элемент из обозначим через наименьшую алгебраическую группу автоморфизмов, алгебра Ли которой содержит эндоморфизм X, а через алгебру Ли группы Так как алгебраическая группа, то С другой стороны, из предложения 4 следует, что состоит из всех элементов множества таких, что при всех для которых Отсюда вытекает, что векторное пространство, получающееся из пространства над полем Ко расширением основного поля до поля к Так как сумма пространств для всех то где Пусть — подгруппа группы состоящая из всех элементов для которых при всех тогда состоит из всех элементов для которых при всех Пусть группа обратимых элементов из для которых при всех Это, конечно, алгебраическая группа. Пусть ее алгебра Ли. Если X — какой-либо элемент из то, как известно, группа состоит из обратимых элементов 5 из таких, что при всех для которых Итак, откуда вытекает, что так что Докажем, что и что группа неприводима. Пусть базис пространства Присоединим к полю элементов алгебраически независимых относительно К и обозначим это расширение через

Пусть элемент из наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V» алгебра Ли которой содержит Ясно, что единственными элементами из для которых являются элементы из А. Таким образом, состоит из всех автоморфизмов пространства содержащихся в для которых при всех Отсюда так как область единственности в группе то Но алгебраическая группа автоморфизмов пространства алгебра Ли которой содержит элемент Таким образом, отсюда вытекает, что следовательно, Кроме того, неприводимая группа, так что тем же свойством обладает и группа (теорема 3 § 5). Пусть элемент из для которого при всех тогда

для всех (здесь переменная, с помощью которой построены формальные ряды). Но

отсюда вытекает, что для всех так что В силу следствия 1 теоремы 8 § 12, G - алгебраическая компонента единицы группы так как то Пусть элемент из А. Отображение гомоморфизм группы в мультипликативную группу элементов поля этот гомоморфизм отображает группу на Так как группа конечна, то для элемент является корнем из единицы. Таким образом, каждому сопоставляется характер группы этот характер оказывается единичным характером (т. е. сопоставляющим 1 всем элементам группы тогда и только тогда, когда С другой стороны, отображение — гомоморфизм группы А в группу характеров группы Итак, имеет место изоморфизм группы с некоторой группой характеров группы обладающий тем свойством, что элемент единичный элемент этой группы в том и только в том случае, если для всех В силу хорошо известных свойств конечных абелевых групп отсюда вытекает, что есть группа всех характеров группы и тем самым изоморфна группе Таким образом, группа изоморфна группе

Пусть теперь группа всех обратимых элементов из для которых при всех Тогда Если то отображение гомоморфизм группы в мультипликативную группу элементов поля и этот гомоморфизм — тождественный, если Но, как мы видели, группа конечна; отсюда вытекает, что для корень из единицы. Как и выше, мы убеждаемся, что существует конечная группа характеров группы изоморфная группе такая, что единственным элементом из для которого при всех является единичный элемент. Отсюда следует, во-первых, что порядок всех элементов группы конечен и, во-вторых, что порядок любой конечной подгруппы группы не больше порядка группы Отсюда немедленно заключаем, что конечная группа; ее порядок равен порядку группы и тем самым порядку группы Таким образом, Предложение 3 полностью доказано.

Пусть теперь поле конечное расширение поля Поле можно тогда рассматривать также как конечномерное векторное пространство над полем обозначимэто векторное пространство через Каждому элементу поля можно сопоставить автоморфизм пространства V, определенный формулой для всех Таким образом, мы получаем изоморфизм мультипликативной группы элементов поля с некоторой группой автоморфизмов пространства Будем говорить, что подгруппа группы есть алгебраическая группа, если ее образ алгебраическая группа автоморфизмов пространства Пусть нормальное расширение конечной степени поля содержащее поле и пусть все различные изоморфизмы расширения в поле Каждое из отображений является линейным отображением пространства V в поле рассматриваемое как векторное пространство над полем Оно может

быть продолжено в линейную функцию (которую мы вновь обозначим через на пространстве получающемся из пространства V расширением основного поля до поля Функции линейно независимы (Бурбаки, Алгебра, гл. V, § 7, п°5, теорема Следовательно, существует базис пространства для которого Непосредственно видно, что для всех Из предложения 3 вытекает, что если алгебраическая подгруппа группы то существует подгруппа А группы изоморфной произведению экземпляров аддитивной группы целых чисел, такая, что состоит из всех элементов сопряженные к которым удовлетворяют условиям для всех Кроме того, алгебра Ли группы состоит из операторов где пробегает множество элементов поля удовлетворяющих условиям для всех Предположим, в частности, что само нормальное расширение поля пусть его группа Галуа. Пусть множество тех для которых принадлежит алгебре Ли рассматриваемой группы. Каждой системе из рациональных чисел сопоставим элемент групповой алгебры группы над полем рациональных чисел. Множество состоящее из элементов Для всех систем удовлетворяющих условиям при всех очевидно, представляет собой левый идеал групповой алгебры группы и, наоборот, каждый левый идеал этой алгебры определяет неприводимую алгебраическую группу элементов из Если, например, предположить, что циклическое расширение простого ранга над полем то указанным способом легко установить, что содержит только следующие алгебраические подгруппы: саму группу мультипликативную группу элементов поля группу элементов из относительная норма которых по отношению к полю К равна 1.