§ 1.17. СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД

Для расчета цепей переменного тока, а также для аналнза процессов в электрических машинах широкое примененне получил так называемый символический метод, основанный на использовании комплексных чисел. Поэтому символический метод часто называют еще комплексным методом.

Как известно, комплексное число А (рис. 1-28) может быть записано в трех формах: алгебраической, тригонометрической и показательной:

где — модуль комплексного числа; — аргумент, показывающий ориентировку вектора на числовой плоскости, и

Если аргумент а изменяется со временем, например то точка на числовой плоскости, соответствующая комплексному числу описывает окружность радиуса А с центром в начале координат. Поэтому комплексное число может быть представлено вектором А, вращающимся против часовой стрелки с угловой скоростью . Эта особенность комплексных чисел и дает возможность применять их к гармонически изменяющимся величинам.

Пусть в некоторой цепи напряжение и ток изменяются по закону синуса с разностью фаз :

Рис. 1-28

Рис. 1-29

Так, в активно-индуктнвной цепи (рис. 1-29, а и б), где за основной вектор выбран вектор тока комплекс тока будет равен вектор совпадает с вектором тока поэтому комплекс падения напряжения на активном сопротивлении равен

Вектор (длина которого опережает вектор тока на поэтому комплекс этого вектора равен

так как поворот вектора против часовой стрелки на — соответствует его умножению на

По второму закону Кирхгофа приложенное напряжение U равно

или в комплексной форме

где — комплекс полного сопротивления (не вектор!) для активно-индуктивной цепи; фаз.

Тогда закон Ома для цепи переменного тока в комплексной форме имеет вид

а для активно-индуктивной цепи можно получить

Комплекс полного сопротивления может быть выражен и в показательной форме:

где модуль полного сопротивления.

Рис. 1-30

В активно-емкостной цепи (рис. 1-30, а и б) вектор модуль которого отстает от вектора тока на поэтому

так как поворот вектора по часовой стрелке на — соответствует его умножению на

Для этой цепи напряжение в комплексной форме равно

где комплекс полного сопротивления активно-емкостной цепи; фаз; — модуль полного сопротивления.

Для активно-емкостной цепи можно получить:

получения мощности в комплексной форме принято брать произведение комплекса напряжения U на сопряженный комплекс

Здесь вещественная часть представляет собой активную мощность, а мнимая множителя ) — реактивную. Модуль комплекса мощности дает полную (кажущуюся) мощность:

В заключение в качестве примера рассмотрим порядок расчета сложной цепи (рис. 1-31) переменного тока на основе символического метода.

Пусть известно приложенное напряжение и все сопротивления, включенные в цепь. Необходимо найти токи.

Рис. 1-31

Сначала записываем комплексы полных сопротивлений участков цепи:

Затем находим комплекс полного сопротивления всей цепи:

и комплекс общего тока

Так как , то

По комплексам токов можно найти их модули (действующие значения).