§ 10. ДИФФУЗИЯ И БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

Диффузия в газах. Покажем теперь, что если молекула газа при каждом столкновении изменяет направление движения совершенно случайным образом, то среднее расстояние на которое удалится молекула от первоначального своего местонахождения за время можно определить, если известны средняя длина ее свободного пробега К и средняя частота столкновений

Кажется правдоподобным предположение, что результатом хаотического блуждания каждой молекулы должно быть «топтание» ее вблизи одного и того же места, сколько бы времени ни прошло.

Однако простые наблюдения за процессами диффузии заставляют отказаться от этого предположения. В комнате, где только что выкрашены полы или стены, запах краски ощущается в любой точке пространства комнаты и даже за ее пределами, а не только вблизи окрашенных поверхностей. Значит, молекулы растворителя, испарившись с окрашенной поверхности, не «толкутся» вблизи места своего освобождения, а удаляются от него на большие расстояния.

Попытаемся найти математическое выражение зависимости от времени среднего расстояния на которое удаляется молекула от первоначального положения.

Для упрощения вывода будем считать, что движение молекулы происходит в плоскости Это предположение не изменяет ни способа, ни строгости вывода.

Пусть в начальный момент времени молекула находилась в точке О, которую примем за начало координат. Через время достаточно большое по сравнению со средним временем между двумя последующими столкновениями, она окажется в некоторой точке М с координатами (рис. 8). Вектор перемещения является результатом сложения векторов каждый из которых представляет собой вектор перемещения молекулы между двумя последующими столкновениями.

Рис. 8. Траектория хаотического движения молекулы в газе

Модуль вектора перемещения определяется выражением:

где х и у — координаты конца вектора перемещения или, что то же самое, координаты молекулы. Очевидно, что координаты молекулы х и у в момент времени могут быть найдены путем сложения соответствующих изменений ее координат происходящих при каждом перемещении молекулы между двумя последующими столкновениями. Изменения координат представляют собой проекции на оси координат вектора перемещения молекулы между двумя столкновениями. Значения координат молекулы в момент времени определяются выражениями:

откуда

Так как движение молекулы хаотично, то изменения ее координат происходят с одинаковой вероятностью как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения. Следовательно, в подкоренном выражении слагаемые, представляющие собой смешанные произведения типа одинаково часто встречаются со знаками «плюс» и «минус». Так как по абсолютной величине все они лежат в пределах от нуля до величины порядка при достаточно большом числе слагаемых их сумма с большой степенью точности может

считаться равной нулю. Сумма остальных слагаемых может быть представлена как сумма N квадратов перемещений молекулы, которая равна по определению произведению числа N на квадрат средней длины свободного пробега :

Таким образом, мы получили, что модуль перемещения молекулы за время пропорционален корню квадратному из числа столкновений N, испытанных ею за это время, и средней длине свободного пробега X. Отсюда связь между модулем перемещения временем и средней скоростью молекул определяется выражением:

Полученное соотношение открывает возможность определения средней длины свободного пробега газовых молекул К по экспериментальным данным о среднем значении перемещения молекул газа путем диффузии за известное время и вычисленной средней скорости их движения и.

Скорость диффузии. Интересно сравнить скорость диффузионного распространения молекул газа со средней скоростью их теплового движения.

Выполним расчет для воздуха при нормальном атмосферном давлении и температуре 20 °С. Средняя скорость теплового движения молекул газов воздуха при этих условиях составляет примерно 500 м/с, средний свободный пробег их около тогда среднее значение модуля перемещения молекулы за одну секунду равно:

При нормальных условиях молекула газа пробегает за одну секунду путь около 0,5 км, но из-за хаотических изменений направления движения в результате большого числа столкновений с другими молекулами смещается от своего первоначального положения в среднем всего на 0,5 см!

Здесь следует обратить внимание на то, что процесс диффузии газовых молекул нельзя охарактеризовать понятием средней скорости диффузии, как это хотелось бы сделать. Объясняется это тем, что модуль среднего перемещения молекулы пропорционален времени не в первой степени, а в степени . Следовательно, скорость диффузии является не постоянной величиной, а убывает с увеличением интервала времени.

Законы броуновского движения. Броуновское движение частиц обнаруживает большое сходство с диффузионным движением молекул и атомов.

Беспорядочное движение мелких твердых частиц, находящихся в жидкости или газе, впервые обнаружил в 1827 г. при наблюдении в микроскоп английский ботаник Б роун. Это явление смогла объяснить лишь молекулярно-кинетическая теория на основе использования представлений о существовании молекул. Молекулы жидкости или газа сталкиваются с тсердой частицей и изменяют направление и модуль скорости ее движения. Число молекул, ударяющих частицу с различных сторон, и направление передаваемого ими импульса непостоянны во времени. Чем меньше размеры и масса частицы, тем более заметными становятся изменения ее импульса во времени.

Сам факт обнаружения броуновского движения часто называют доказательством справедливости молекулярно-кинетической теории. Однако более точным будет утверждение, что факт существования броуновского движения свидетельствует о молекулярном строении вещества и движении молекул.

Действительно, решающими экспериментами были опыты французского физика Жана Перрена по изучению количественных закономерностей броуновского движения, выполненные в 1908— 1911 гг.

Эти опыты были поставлены после того, как А. Эйнштейн в 1905 г., используя молекулярно-кинетическую теорию, разработал теорию броуновского движения. А. Эйнштейн доказал, что хаотическое движение броуновской частицы должно подчиняться закону:

где — средний квадрат смещения броуновской частицы за время — температура, — число Авогадро, — постоянная, зависящая от формы и размеров броуновской частицы и свойств жидкости.

Опыты Перрена показали, что закономерности броуновского движения, предсказанные молекулярно-кинетической теорией, полностью подтверждаются экспериментом, т. е. средний квадрат смещения броуновской частицы прямо пропорционален абсолютной температуре газа или жидкости и первой степени интервала времени, за которое происходит смещение. Это совпадение результатов теории и эксперимента является одним из решающих доказательств справедливости основных положений молекулярно-кинетической теории.