§ 9. СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА

Одним из важнейших отличий реальных газов от воображаемого идеального газа являются конечные размеры молекул любого реального газа. Вследствие этого молекулы реального газа испытывают столкновения не только со стенками сосуда, но и друг с другом. Поэтому одним из основных параметров реального газа является средняя длина свободного пробега его молекул.

Длиной свободного пробега молекулы газа называется длина пути, пройденного ею между двумя последовательными столкновениями (рис. 6). Так как молекулы газа распределены в пространстве беспорядочно, движутся во всевозможных направлениях и с различными скоростями, то длина пути между каждыми двумя последовательными столкновениями молекулы оказывается величиной непостоянной. Однако можно найти среднее значение длины свободного пробега молекулы газа для большого числа столкновений и пользоваться этим параметром для характеристики газа.

Среднюю длину свободного пробега X можно вычислить теоретически, если известны радиус молекул и концентрация их в единице объема При расчетах будем считать, что молекулы газа при столкновении ведут себя как упругие шары, отталкивающиеся только при соприкосновении, когда расстояние между их центрами равно удвоенному радиусу . Силы взаимного притяжения молекул во внимание принимать не будем.

Для определения средней длины свободного пробега вычисли сначала число столкновений, которое испытывает молекула за 1 с. Мы предположили, что молекулы взаимодействуют друг с другом при сближении до расстояния . Следовательно, при движении одной молекулы с ней испытывают соударения все молекулы

Рис. 6. Движение молекул газа характеризуется длиной свободного пробега

Рис. 7. Отрезок пути молекулы в газе

центры которых оказываются внутри цилиндра с радиусом и осью, совпадающей с траекторией движения центра молекулы. Если считать остальные молекулы неподвижными, то молекула при движении вдоль отрезка АВ (рис. 7) столкнулась бы лишь с молекулами 2 и 6, центры которых лежат внутри цилиндра радиусом с осью АВ. Молекулы 3, 4, 5, 7 столкновения с молекулой 1 не испытали бы, так как их центры находились вне этого цилиндра. Если средняя скорость движения молекулы равна у, то для определения числа соударений испытываемых ею за 1 с, необходимо найти число молекул, центры которых попадают внутрь цилиндра с радиусом и длиной . Очевидно, что это число можно определить как произведение объема цилиндра на концентрацию молекул газа:

Разделив путь пройденный молекулой за 1 с, на число столкновений испытанных ею за это время, получим среднюю длину свободного пробега К:

После вывода формул для вычисления средней длины свободного пробега молекулы и частоты ее столкновений с другими молекулами можно произвести интересный анализ физического смысла полученных результатов.

Обратим сначала внимание на то, что произведение определяет площадь поверхности всех молекул, заключенных в единице объема газа, если считать молекулы шариками радиусом . Тогда из выражения (1.21) следует, что средняя длина свободного пробега молекулы газа во столько раз меньше единицы длины, во сколько раз площадь поверхности всех молекул газа в единице объема больше единицы площади.