§ 46. ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Задача 38. Внутрь сферической полости в незаряженном металлическом шаре радиусом помещается положительный электрический заряд (рис.91).

Определите электрический заряд на поверхности полости, потенциал поверхности шара и напряженность электрического поля у поверхности шара. Сделайте рисунки распределения линий напряженности электрического поля внутри полости и вне проводящего шара.

Решение. При внесении заряда внутрь полости его электрическое поле действует на положительные и отрицательные электрические заряды, имеющиеся в проводящем шаре. Перемещение свободных электрических зарядов будет происходить до тех пор, пока напряженность поля в любой точке внутри проводника не станет равной нулю, так как только при этом условии свободные электрические заряды не будут иметь упорядоченного движения.

В данном случае напряженность электрического поля в проводнике может стать равной нулю, если на внутренней поверхности полости в результате перемещения свободных зарядов появится избыточный отрицательный заряд. Заряд находится не в центре полости и создает в различных местах проводника вблизи поверхности полости электрическое поле с различной напряженностью. Так как напряженность поля, создаваемого зарядами на поверхности, пропорциональна поверхностной плотности зарядов, то для нейтрализации поля заряда в проводнике поверхностная плотность отрицательных зарядов на поверхности полости должна быть различной. Это наглядно представлено на рисунке 92, а, где изображены линии напряженности поля точечного заряда и индуцированные этим полем отрицательные заряды на поверхности сферической полости. Однако на этом рисунке не изображены линии напряженности индуцированных электрических зарядов.

Вместо того чтобы изображать сложную картину наложения электрических полей всех зарядов, представим качественную картину распределения линий напряженности результирующего электрического поля. Линии напряженности электрического поля любой системы неподвижных зарядов перпендикулярны поверхности проводника, так как в противном случае под действием составляющей вектора напряженности, направленной вдоль поверхности, происходило бы движение свободных зарядов. Учитывая это свойство

Рис. 92. К решению задачи 38

проводников, а также зная картину распределения поверхностной плотности наведенных электрических зарядов (рис. 92, а), можно представить распределение линий напряженности электрического поля внутри полости рисунком Так как внутри проводника напряженность электрического поля равна нулю, то все линии напряженности, выходящие из положительного заряда кончаются на отрицательных зарядах, индуцированных на поверхности полости.

Суммарный отрицательный заряд поверхности полости можно определить, применив теорему Гаусса к замкнутой поверхности, проходящей всюду внутри проводника и охватывающей полость.

Так как напряженность электрического поля в любой точке внутри проводника равна нулю, то полный поток вектора напряженности электрического поля через эту поверхность также равен нулю: Так как суммарный заряд внутри этой поверхности равен нулю, следовательно, на поверхности полости индуцируется суммарный электрический заряд, равный внесенному заряду по величине и противоположный ему по знаку.

Концентрация отрицательного заряда на поверхности полости приводит к тому, что в проводнике остается нескомпенсированный положительный электрический заряд

Взаимное отталкивание одноименных электрических зарядов приводит к их взаимному вытеснению на поверхность. Распределение же зарядов по поверхности осуществляется таким образом, что напряженность результирующего электрического поля всех зарядов, находящихся на поверхности, в любой точке внутри проводника равна нулю.

Избыточный заряд в силу симметрии шара распределяется по его поверхности равномерно. При равномерном распределении

электрического заряда по поверхности шара линии напряженности электрического поля в любой точке перпендикулярны поверхности шара. Следовательно, вне равномерно заряженного шара электрическое поле эквивалентно полю точечного электрического заряда, находящегося в центре шара. Отсюда напряженность электрического поля у поверхности шара равна:

а потенциал

Задача 39. Два шара одинакового радиуса с одноименными зарядами находятся на расстоянии друг от друга. Если их соединить на короткое время проводником, то заряды станут равными:

Сравните энергию электростатического взаимодействия шаров до и после опыта. Объясните полученный результат.

Решение. Потенциальная энергия взаимодействия заряженных шаров сначала равна:

затем становится равной:

Для сравнения величин найдем их разность

Следовательно, при любых значениях зарядов энергия электростатического взаимодействия заряженных шаров после перераспределения зарядов возрастает! Этот результат кажется еще более парадоксальным, если учесть, что при перераспределении зарядов должно выделиться некоторое количество теплоты в проводнике, через который протекал электрический ток.

Объяснение полученного результата возможно лишь при учете «собственной энергии» заряженных шаров, т. е. потенциальной энергии взаимодействия зарядов на каждом из них.

Действительно, потенциальная энергия взаимодействия зарядов на шарах до перераспределения зарядов равна:

После перераспределения зарядов эта энергия становится равной:

Изменение потенциальной энергии равно:

т. е. потенциальная энергия взаимодействия зарядов на шарах уменьшилась. Так как то увеличение энергии электростатического взаимодействия шаров всегда меньше, чем уменьшение потенциальной энергии заряженных шаров.

Задача 40. Удельное сопротивление атмосферного воздуха у поверхности Земли составляет примерно Ом напряженность электрического поля у поверхности Земли около

Оцените силу тока проводимости, протекающего между земной поверхностью и верхними слоями земной амтосферы.

Решение. Для оценки силы тока выделим шаровой слой атмосферы толщиной поверхности Земли и определим его сопротивление пренебрегая кривизной:

Затем оценим силу тока:

Задача 41. Оцените толщину запирающего слоя в германии, исходя из предположений, что плотность объемного заряда постоянна, концентрации доноров и акцепторов по обе стороны контакта равны, все примеси ионизированы. Диэлектрическая проницаемость германия Скачок потенциала принять равным 0,7 В, концентрацию примесей

Решение. В первом приближении -переход является плоским конденсатором со слоем диэлектрика толщиной которую мы и должны определить. Однако заряды не сосредоточены на поверхности обкладок, а распределены по всему объему.

Из формулы емкости плоского конденсатора и выражения

Рис. 93. К решению задачи 42

где — заряд в объеме запирающего слоя, находим толщину запирающего слоя:

Задача 42. Используя закон — Савара — Лапласа, вычислите индукцию магнитного поля, создаваемого током I при прохождении по проводнику, имеющему форму окружности радиусом

Решение. Выбирая элемент проводника малым, можем считать его прямолинейным и перпендикулярным к прямой, соединяющей его с центром окружности (рис. 93). При этом условии угол а в выражении (4.13) равен 90°. Получаем:

Аналогичные выражения определяют величину индукции поля, создаваемого в центре окружности другими элементами проводника: Индукцию магнитного поля создаваемого всем круговым током, можно найти суммированием векторов индукции отдельных элементов проводника с током Все эти векторы параллельны, поэтому модуль вектора индукции кругового тока определяется выражением:

Мы получили, что индукция магнитного поля в центре кругового тока прямо пропорциональна силе тока в проводнике и обратно пропорциональна радиусу окружности.

Задача 43. В МГД-генераторе используется электронно-ионная плазма с концентрацией носителей заряда летящих со скоростью Индукция магнитного поля 2 Т. Расстояние между катодом и анодом 0,5 м. Определите наибольшее напряжение и наибольший ток, которые можно получить от данного МГД-генератора, если сечение канала

Решение. Наибольшее напряжение получается в режиме холостого хода, когда цепь нагрузки разомкнута. При этом выполняется соотношение:

Поскольку то искомое напряжение равно:

Наибольший ток получается в режиме короткого замыкания, когда сопротивление цепи нагрузки равно нулю. При этом сила тока будет равна