§ 31. ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

СТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА

Задача 1. В опытах Резерфорда было получено, что в герметичном сосуде, в который помещен радия, накапливается за год газообразного гелия при нормальных условиях. Исходя из этих данных, определите число Авогадро, если известно, что радия испускает за 1 с -частиц, т. е. атомов гелия.

Решение. Для определения числа атомов гелия в объеме необходимо число -частиц (атомов гелия), испускаемых 1 г ргдия за 1 с, умножить на число секунд в году:

Из этих данных, используя закон Авогадро, можно получить значение числа Авогадро:

Задача 2. Определите радиус атома алюминия, приняв, что в алюминии, находящемся в твердом состоянии, атомы располагаются вплотную друг к другу.

Решение. Для решения задачи найдем сначала сбъем V, занимаемый одним атомом.

Объем V, занимаемый одним атомом алюминия, определится делением объема занимаемого 1 молем алюминия, на число атомоз алюминия в одном моле :

Длина ребра куба, занимаемого атомом, равна:

Считая атом алюминия шаром, вписанным в этот куб; мы получим, что радиус атома алюминия равен половине ребра этого куба:

Задача 3. Для того чтобы проверить, насколько близки к истине ваши представления об атмосферном воздухе, попробуйте, не прибегая к вычислениям, оценить массу воздуха, находящегося в физическом кабинете.

Какой объем займет воздух, находящийся в физическом кабинете, если его перевести в жидкое состояние? Поместится ли он тогда в вашу сумку для книг?

После того как вы сделали свои оценки, проверьте их расчетами.

Решение. Определим сначала массу воздуха в кабинете. Для кабинета физики размером получаем объем воздуха, равный

Принимая среднюю молярную массу воздуха равной найдем массу воздуха в кабинете при температуре

Так как плотность воздуха в жидком состоянии равна кг то в жидком состоянии объем воздуха физического кабинета равен:

Задача 4. Оцените, во сколько раз изменится расстояние между молекулами при переходе воды из жидкого в газообразное состояние.

Решение. Очевидно, на этот вопрос не может быть дан однозначный ответ, так как объем, занимаемый газом, определяется только размерами сосуда. Для примера сравним воду и водяной пар при нормальном атмосферном давлении. Вычислим, какой объем приходится на долю одной молекулы воды в жидком состоянии. Для этого разделим объем V, занимаемый одним молем воды, на число молекул в одном моле, т. е. на число Авогадро :

Подчеркнем, что полученное число не есть объем молекулы воды, это объем условной кубической ячейки, занимаемой одной молекулой. Все такие кубические ячейки без зазоров примыкают одна к другой. Ребро куба объемом равно диаметру молекулы, если ее считать шаром, вписанным в эту кубическую ячейку, или расстоянию между центрами соседних молекул Это расстояние можно определить, найдя длину ребра куба имеющего объем :

Рассмотрим теперь водяной пар при нормальном атмосферном давлении и температуре 100 °С. Объем, занимаемый молем водяного пара при этих условиях, можно определить, воспользовавшись уравнением Клапейрона — Менделеева:

Разделив молярный объем водяного пара при атмосферном давлении V на число Авогадро получим объем приходящийся на долю одной молекулы водяного пара при этих условиях:

Если представить себе, что на какое-то мгновение хаос в расположении молекул водяного пара сменился порядком и каждая из них находится в центре кубической ячейки, то расстояние между соседними молекулами определилось бы выражением:

Для реального газа, состоящего из хаотически движущихся молекул, величина имеет смысл среднего расстояния между молекулами.

Получив численные характеристики распределения в пространстве молекул вещества в жидком и газообразном состояниях, сравним их между собой:

Наши расчеты показывают, что при переходе воды из жидкого состояния в газообразное при условиях, близких к нормальным, объем, приходящийся на долю одной молекулы, увеличивается почти в 2000 раз. Однако среднее расстояние между молекулами при этих условиях изменяется не так значительно, примерно в 12 раз.

Задача 5. Основываясь на представлениях молекулярно-кинетической теории, оцените давление и температуру внутри Солнца. Масса Солнца кг, радиус . В расчетах можно принять, что Солнце состоит в основном из атомарного водорода.

Решение. Согласно молекулярно-кинетической теории давление газа связано с его температурой Т и концентрацией молекул соотношением отсюда

Поскольку Солнце не расширяется и не сжимается, на любой глубине давление его внутренних слоев равно давлению вышележащих слоев, создаваемому действием силы тяжести

Отсюда следует, что для определения температуры на какой-то глубине внутри Солнца необходимо определить концентрацию атомов на этой глубине и давление вышележащих слоев

Для упрощения зададимся целью определить температуру на расстоянии от центра Солнца, где концентрацию атомов водорода можно считать приближенно равной среднему значению для Солнца:

Выделив вертикальный столб газа с площадью основания давление верхних слоев на лежащие ниже можно оценить, пренебрегая зависимостью плотности газа от глубины. Примем расстояние до центра масс верхней половины столба газа равным и произведем расчет силы тяготения, пренебрегая отличием формы тяготеющих тел от точечных и шарообразных тел:

Тогда давление будет равно:

а температура:

Получим численные значения давления и температуры:

Мы получили, что в недрах Солнца давление газа примерно в 20 млрд. раз превышает нормальное атмосферное давление, а температура составляет около 20 млн. К. При всей приблизительности расчетов результаты весьма близки к полученным более строгим путем.

Задача 6. На рисунке 49 представлен график процесса изменения состояния идеального газа. Уменьшился или увеличился объем газа при переходе из состояния 1 в состояние 2? Масса газа постоянна.

Рис. 49. К задаче 6

Рис. 50. К решению задачи 5

Решение. Проведем прямые из начала координат через точки 1 и 2 (рис. 50). Эти прямые являются графиками изохорических процессов для газа при значениях объемов и . Согласно уравнению состояния идеального газа для состояний можно записать уравнение:

Выделив на нижней изохоре, соответствующей постоянному объему газа точку 3, соответствующую температуре можно записать еще одно уравнение для третьего состояния газа:

Как видно из рисунка Следовательно,

Задача 7. В сосуде объемом находится 1 кг воды и кг азота. Каково давление в сосуде при температуре 373 К?

Решение.

При температуре 373 К давление насыщенного водяного пара равно Па. Для нахождения давления азота необходимо знать объем, оставшийся в сосуде, не занятым жидкой водой.

Так как масса воды в газообразном состоянии в объеме при температуре 373 К пренебрежимо мала по сравнению с массой воды в жидком состоянии, можно считать, что вода в жидком состоянии занимает объем . Тогда пары воды и азот

занимают объем Следовательно,

Задача 8. Вычислите площадь поверхности молекул, находящихся в воздуха при температуре 20 °С, среднюю длину свободного пробега молекулы и число столкновений за 1 с. Решение.

Мы получили, что площадь поверхности всех молекул, заключенных в воздуха при нормальных условиях, составляет почти 10 млн. средняя длина свободного пробега молекулы равна примерно одной десятимиллионной доле метра, а число столкновений молекулы за одну секунду достигает примерно 3,5 миллиардов.

Задача 9. Определите число элементарных ячеек в свинца. Кристаллическая решетка свинца гранецентрированная кубическая.

Решение. Как видно из рисунка 16, в, одной элементарной ячейке гранецентрированной кубической решетки принадлежит атома.

Число элементарных ячеек в можно определить, разделив число атомов N свинца, содержащихся в этом объеме, на число атомов свинца содержащихся в одной элементарной ячейке.