§ 4. ДАВЛЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Используя модель идеального газа, вычислим давление газа на стенку сосуда. Пусть в сферическом сосуде радиусом находится N молекул идеального газа массой каждая. Согласно представлениям молекулярно-кинетической теории молекулы газа имеют различные скорости движения, движутся хаотически и испытывают упругие соударения между собой и со стенкой сосуда. Если не рассматривать взаимные соударения молекул, то, как следует из геометрических соображений, в результате упругих соударений со стенкой сферы траектория движения одной молекулы в таком сосуде должна быть ломаной линией ABCDE..., лежать в плоскости, проходящей через центр сферы, и состоять из отрезков равной длины (рис. 3).

При каждом столкновении со стенкой нормальная (перпендикулярная стенке сосуда) составляющая импульса молекулы изменяется по направлению на 180°, оставаясь неизменной по модулю. Тангенциальная (касательная к поверхности сосуда) составляющая импульса остается неизменной, следовательно, изменение импульса молекулы, движущейся со скоростью после одного столкновения со стенкой сосуда равно по модулю:

Подсчитаем сумму модулей изменения импульса одной молекулы при ударах о стенку сосуда за интервал времени . Для этого умножим изменение импульса молекулы при одном столкновении на число ее столкновений со стенкой сосуда за интервал времени Ы. Число столкновений молекулы со стенкой сосуда найдем, разделив путь, пройденный молекулой за время на длину пути между столкновениями d:

Отсюда сумма модулей изменений импульса молекулы или сумма модулей импульса, передаваемого молекулой стенке сосуда за время равна:

Поскольку

то

Заменяя получим:

где — радиус сферы, — площадь ее поверхности. Используя далее получим:

Рис. 3. Траектория движения молекулы в сферическом сосуде

Удары о стенку сосуда молекул, заключенных в нем и движущихся с различными скоростями приводят к возникновению давления:

Введя обозначение для среднего значения квадрата скорости молекулы

и учитывая, что объем шара радиусом равен:

получим:

Мы получили, что давление газа пропорционально массе одной молекулы концентрации молекул и среднему квадрату скорости поступательного движения при их хаотическом тепловом движении.

Вывод получен для сосуда сферической формы и без учета столкновений молекул между собой. Более строгие вычисления дают точно такой же результат для сосуда произвольной формы и с учетом взаимных соударений молекул.

Используя выражение, определяющее кинетическую энергию Е поступательно движущегося со скоростью тела массой

установим связь между средним значением кинетической энергии поступательного движения молекул Е и давлением газа на стенки сосуда :