§ 3.6. Обратное z-преобразование

Обратное -преобразование позволяет определить значения дискретного сигнала по виду функции Для нахождения формулы обратного -преобразования можно воспользоваться обратным преобразованием Лапласа, но легче получить ее из формулы прямого -преобразования.

Запишем еще раз прямое -преобразование

Умножим обе части этого выражения на проинтегрируем по окружности с радиусом, превышающим радиус сходимости ряда для и поменяем местами суммирование и интегрирование:

Вычислим интеграл в правой части выражения (3.21)

Такой результат объясняется тем, что значение интеграла по замкнутому контуру в комплексной плоскости равно произведению на сумму вычетов подынтегральной функции; единственный вычет при получается только при когда

Следовательно,

Получившееся выражение представляет собой формулу обратного -преобразования, но надо только уточнить форму контура интегрирования. Для этого положим Тогда Применим обратное -преобразование к этой формуле:

Рис. 3.9. Возможные контуры интегрирования при вычислении обратного -преобразования

Подынтегральная функция имеет единственный полюс при Интегрировать можно вдоль любого контура, охватывающего точку (рис. 3.9), но удобнее вдоль окружности радиуса

Для сигналов, абсолютное значение которых убывает во времени, потому в качестве контура интегрирования можно использовать окружность радиуса