§ 4.5. Основы синтеза цифровых фильтров

При решении задачи о синтезе фильтра обычно бывает задана частотная характеристика, реже — импульсная характеристика этого фильтра. При проектировании аналоговых фильтров задача синтеза распадается на две: задачу аппроксимации частотной характеристики и задачу реализации. Обычно частотная характеристика фильтра имеет такой вид, что она не может быть реализована с помощью обычных резисторов, конденсаторов и индуктивных катушек. Например, нереализуемой оказывается идеальная прямоугольная форма частотной характеристики фильтра нижних частот. Выход из такого положения состоит в нахождении функции, которая соответствует реальной электрической цепи и достаточно хорошо аппроксимирует заданную частотную характеристику. Часто эту задачу удается решить путем определения местоположения нулей и полюсов этой функции. После этого приходится решать задачу об определении электрической схемы, соответствующей заданной частотной характеристике. Эта вторая задача обычно бывает не легче первой.

При создании цифровых фильтров задача аппроксимации по существу не отличается от такой же задачи для аналоговых фильтров. Решение же второй задачи — задачи реализации не представляет никакого труда. Если системную функцию фильтра записать в виде дробно-рационального выражения, то, как показано в § 4.4, можно сразу же изобразить схему фильтра. Поэтому в данном параграфе будут рассмотрены некоторые способы определения системной функции цифрового фильтра в виде дробно-рационального выражения, т. е. в виде отношения двух полиномов

по отрицательным степеням Эти методы фактически являются методами синтеза цифровых фильтров.

За последние 2—3 десятилетия радиоспециалистами накоплен богатый опыт по проектированию аналоговых фильтров, и вполне естественным является стремление использовать этот опыт при разработке цифровых фильтров. Поэтому наиболее распространенные методы синтеза цифровых фильтров основаны на использовании аналогового фильтра-прототипа, т. е. физически реализуемого аналогового фильтра, удовлетворяющего поставленным техническим требованиям. При этом должна быть известна частотная или импульсная характеристика фильтра-прототипа.

Синтез по заданной импульсной характеристике. Наиболее просто задача синтеза цифрового фильтра решается в том случае, если известна импульсная характеристика фильтра-прототипа. Метод синтеза цифровых фильтров, основанный на использовании импульсной характеристики фильтра-прототипа, называют методом инвариантной импульсной характеристики. Согласно этому методу, для определения импульсной характеристики проектируемого цифрового фильтра необходимо подвергнуть дискретизации импульсную характеристику аналогового фильтра-прототипа. Значения импульсной характеристики цифрового фильтра должны быть равны значениям импульсной характеристики фильтра-прототипа в отсчетные моменты времени Применяя к импульсной характеристике цифрового фильтра -преобразование, можно найти системную функцию и составить алгоритм цифровой фильтрации. Метод инвариантной импульсной характеристики уже был использован в § 4.2 при определении алгоритма цифрового фильтра порядка, эквивалентного колебательному контуру.

Метод билинейного z-преобразования. Синтез цифровых фильтров по заданной частотной характеристике фильтра-прототипа более сложен. При этом используются различные методы, основным из которых является метод билинейного -преобразования. Пусть частотная характеристика аналогового фильтра-прототипа задана в операторной форме Тогда системную функцию цифрового фильтра можно найти посредством замены переменного или

Передаточная функция любой физически осуществимой аналоговой цепи описывается дробно-рациональным выражением

Подставляя (4.23) в (4.24), можно найти выражение для системной функции цифрового фильтра Однако это выражение не будет дробно-рациональным и поэтому не соответствует никакому реальному цифровому устройству.

Поскольку точно решить задачу не удается, используется приближенный подход. Надо подобрать дробнорациональное выражение, которое бы приближенно соответствовало (4.23), и, что очень важно, преобразовывало бы частотную характеристику устойчивого аналогового фильтра в системную функцию устойчивого цифрового фильтра.

Для этого представим функцию (4.23) в виде ряда

где

Ограничиваясь для простоты одним членом ряда, получим формулу дробно-линейного преобразования

Если исходный аналоговый фильтр-прототип устойчив, то соответствующий ему цифровой фильтр также будет устойчивым. Это можно показать, анализируя расположение полюсов системной функции цифрового фильтра Для устойчивой аналоговой системы все полюсы передаточной функции располагаются в левой полуплоскости комплексного переменного т. е. при Преобразование (4.25) производит конформное отображение плоскости на плоскость комплексного переменного так что мнимая ось в плоскости переходит в единичную окружность При этом все полюсы передаточной функции расположенные левее оси оказываются внутри окружности Следовательно, цифровой фильтр, соответствующий этой системной функции, будет устойчив.

Однако получающийся таким образом цифровой фильтр не будет точным аналогом исходного фильтра-прототипа, так как дробно-линейное преобразование искажает частотный масштаб. Вследствие того, что преобразование (4.25) лишь приблизительно соответствует желаемому преобразованию (4.23), частотная характеристика цифрового фильтра будет отличаться от частотной характеристики аналогового фильтра-прототипа.

Пусть, например, значение частоты, соответствующее какому-либо характерному месту частотной характеристики аналогового фильтра (например, ослаблению на и этому же характерному месту частотной характеристики цифрового фильтра соответствует частота Значения связаны друг с другом дробно-линейным преобразованием (4.25), откуда получаем

или, после преобразования,

Соотношение (4.26) позволяет скорректировать частотный масштаб при проектировании цифровых фильтров. Пусть, например, требуется, чтобы цифровой фильтр имел заданную частотную характеристику. Для решения задачи синтеза такого фильтра надо сначала подобрать аналоговый фильтр-прототип, такой, чтобы его частотная характеристика не совпадала точно с частотной характеристикой проектируемого цифрового фильтра, а была бы деформирована по оси частот в соответствии с условием (4.26). Если известна частотная характеристика или передаточная функция такого фильтра-прототипа, то с помощью преобразования (4.25) находят системную функцию цифрового фильтра и определяют его структурную схему.

Рассмотренный метод билинейного преобразования является одним из основных рабочих методов синтеза цифровых фильтров. Для демонстрации этого метода приведем пример расчета цифрового фильтра 3-го порядка.

Пусть требуется рассчитать цифровой фильтр нижних частот, имеющий частоту дискретизации плоскую частотную характеристику в области низких частот с затуханием 3 дБ

на частоте среза и ослаблением не менее на частоте

Из теории аналоговых фильтров (см., например, [11]) известно, что при соответствующем выборе параметров заданным требованиям могут удовлетворять фильтры Баттерворта, частотная характеристика которых (см. рис. описывается выражением

Прежде всего найдем частотную характеристику аналогового фильтра-прототипа. Между характерными точками частотных характеристик цифрового фильтра и фильтра-прототипа существует однозначная связь, которая устанавливается выражением соответствии с техническим заданием частотная характеристика проектируемого цифрового фильтра имеет две характерные точки: частоту среза соответствующую затуханию и частоту Гц, на которой должно обеспечиваться затухание не менее Частоте среза цифрового фильтра соответствует частота среза аналогового фильтра-прототипа:

где интервал дискретизации.

Подставляя числовые данные, получим Аналогично частоте цифрового фильтра соответствует частота аналогового фильтра:

Таким образом, аналоговый фильтр-прототип должен иметь затухание на частоте и затухание не менее на частоте Отношение этих двух частот Задаваясь на частоте соаз ослаблением не менее т. е. в 10 раз, из выражения (4.27) определяем порядок фильтра: откуда Принимаем

Фильтр Баттерворта порядка на частоте будет обеспечивать ослабление сигнала, равное что с превышением удовлетворяет заданным требованиям

Найдем передаточную функцию фильтра-прототипа. Согласно операторный коэффициент передачи фильтра Баттерворта порядка определяется выражением

где частота среза аналогового фильтра-прототипа.

Заменяя на после подстановки числовых

данных и ряда упрощений получим выражение для системной функции цифрового фильтра

Системная функция (4.29) может быть реализована в виде по следовательной схемы фильтра. Для этого системную функцию следует записать в виде произведения двух системных функций первого или второго порядков:

Схема цифрового фильтра, соответствующая системной функции (4.30), изображена на рис. 4.19.

Рис. 4.19. Схема цифрового фильтра нижиих частот 3-го порядка

Метод, аналогичный рассмотренному, используется не только для синтеза фильтров нижних частот, но и для синтеза фильтров верхних частот, полосовых, режекторных и даже многополосных цифровых фильтров. Для каждого типа фильтра получена формула дробно-рационального -преобразования, которая устанавливает соответствие между системной функцией синтезируемого цифрового фильтра и частотной характеристикой аналогового фильтра-прототипа нижних частот. Этот метод синтеза цифровых фильтров подробно изложен в [41.