§ 3.7. Основные свойства z-преобразования

Для -преобразования справедливы некоторые теоремы, аналогичные теоремам о спектрах непрерывных сигналов. Главная из них — теорема о свертке.

Теорема о свертке. В теории непрерывных сигналов эта теорема формулируется следующим образом. Пусть заданы два непрерывных сигнала и их свертка

Тогда спектральная плотность свертки связана со спектральными плотностями сигналов соотношением

Для дискретных сигналов по аналогии с непрерывными сигналами вводится дискретная свертка, которая определяется выражением

или

Запишем для дискретных сигналов их -преобразования

Применим -преобразование к формуле свертки (3.25)

Преобразуем правую часть этого выражения так, что бы получить произведение -преобразований. Для этого нужно, в частности, чтобы умножалось на на Сгруппируем соответствующим образом степени

При поэтому можно во второй сумме верхний предел суммирования сделать равным Далее обозначим и получим

Нижний предел можно заменить на так как при все . В результате получим

т.е.

Выражение (3.26) аналогично формуле (3.23), описывающей теорему о свертке для обычных непрерывных сигналов.

В качестве примера рассмотрим дискретную свертку двух простых сигналов: имеющего два ненулевых отсчета состоящего из трех отсчетов Непосредственный подсчет по формуле (3.24) приводит к следующему результату:

Сигнал являющийся сверткой и изображен на рис. 3.10, в.

Рис. 3.10. Дискретная свертка двух сигналов

Найдем -преобразования сигналов

Перемножая выражения для нетрудно убедиться в справедливости выражения (3.26).

Рис. 3.11. К выводу теоремы о запаздывании

Теорема о запаздывании. Сдвинем дискретный сигнал по времени на величину периода повторения Получившийся новый сигнал (рис. 3.11) связан с простым соотношением

Пусть известно -преобразование сигнала

Найдем -преобразование сигнала

Таким образом, запаздывание дискретного сигнала на один элемент соответствует умножению -преобразования на

Теорема Парсеваля для дискретных сигналов. Как известно, энергия непрерывного сигнала может быть вычислена посредством интегрирования в бесконечных пределах или квадрата временнбй функции, или квадрата ее спектра. Аналитически это записывают в виде теоремы Парсеваля:

Аналогичное соотношение можно получить для дискретных сигналов.

Пусть дискретный сигнал представляет собой убывающую последовательность, так что все полюсы его -преобразования находятся внутри единичной окружности в плоскости Для вывода теоремы Парсеваля умножим на и найдем величину этого произведения:

Умножим обе части равенства (3.27) и и проинтегрируем по замкнутому контуру который должен располагаться в области сходимости как так и Поскольку последовательность является убывающей, в качестве контура интегрирования можно принять окружность При интегрировании двойной суммы в правой части равенства (3.27) все члены окажутся равными нулю, кроме членов, соответствующих . В результате получим

Выражение (3.28) является записью теоремы Парсеваля для дискретных сигналов.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)