Восстановление непрерывного сигнала. Погрешности дискретизации и восстановления сигнала.

Если период дискретизации

достаточно мал, так что выполняется условие то соседние составляющие спектра дискретизированного колебания не перекрываются, как показано на рис. 2.5, а. В этом случае легко указать способ восстановления непрерывного колебания из дискретного, который состоит в том, что дискретный сигнал следует пропустить через идеальный фильтр нижних частот с полосой пропускания (рис. 2.5, б).

Рис. 2.5. Спектр дискретного колебания в виде последовательности модулированных импульсов частотная характеристика фильтра нижних частот и спектр восстановленного сигнала

При этом из спектра дискретизированного сигнала будет выделена средняя часть (рис. 2.5, в), которая с точностью до постоянного множителя совпадает со спектром исходного непрерывного колебания

Однако если исходное непрерывное колебание таково, что его спектр с ростом частоты не обращается строго в нуль, то при любом выборе интервала дискретизации соседние составляющие спектра дискретизированного колебания будут частично перекрываться (рис. 2.6, а). Если сигнал с таким спектром пропускать через идеальный фильтр нижних частот, то на выходе фильтра получится колебание, отличающееся от исходного непрерывного сигнала Это отличие состоит не только в том, что «отрезана» часть спектра выше частоты но также и в том,

что на спектр этого колебания накладываются «хвосты» от соседних спектральных составляющих (рис. 2.6, б).

Наиболее простой и очевидный способ уменьшения ошибки дискретизации — это повышение частоты дискретизации. Однако для получения достаточно малой ошибки частоту дискретизации приходится брать очень высокой, особенно если спектр сигнала убывает медленно, что в ряде случаев бывает нежелательно.

Рис. 2.6. Ошибки дискретизации сигнала со спектром, убывающим асимптотически: а — спектр дискретизированного сигнала; б - спектр сигнала после прохождения через идеальный фильтр нижних частот; в — спектр сигнала ошибки

Для уменьшения погрешности дискретизации можно перед дискретизацией пропустить сигнал через фильтр нижних частот с частотной характеристикой, близкой к прямоугольной. При этом спектр сигнала становится быстро убывающим, почти ограниченным, и дальнейшая дискретизация происходит практически без ошибок. Результирующая ошибка в этом случае определяется искажениями спектра при прохождении сигнала через фильтр нижних частот. Вследствие того, что на спектр сигнала в области частот не накладываются «хвосты» от соседних составляющих, эта ошибка получается приблизительно в 2 раза меньше, чем при непосредственной дискретизации сигнала.

Пропускание сигнала через фильтр нижних частот перед дискретизацией является очень полезной мерой для снижения погрешности, если дискретизация сигнала производится при наличии широкополосного шума на входе. При прохождении через фильтр нижних частот дисперсия шума уменьшается и соответственно уменьшается ошибка дискретизации.

Рис. 2.7. Ошибки восстановления сигнала при неидеальной характеристике фильтра нижних частот: а — спектр дискретизированного сигнала; б - характеристика ФНЧ; в — спектр сигнала на выходе ФНЧ

Еще одним источником ошибки является неидеальная фильтрация в процессе восстановления непрерывного сигнала из дискретного. Идеальная прямоугольная форма частотной характеристики фильтра нижних частот практически не может быть реализована; для сглаживания сигнала обычно применяют фильтры, имеющие монотонно спадающую характеристику (рис. 2.7, б). Если на вход такого фильтра подать дискретизированный сигнал со спектром, изображенным на рис. 2.7, а, то на выходе фильтра помимо основного сигнала, которому соответствует центральная часть спектра, появятся дополнительные составляющие, вызванные неполным подавлением боковых частей спектра (рис 2.7, в). Вследствие этого восстановленный сигнал будет отличаться по форме от исходного непрерывного сигнала. Главный метод борьбы с этими

погрешностями состоит в увеличении частоты дискретизации. Однако увеличение частоты дискретизации приводит к усложнению и удорожанию устройства обработки сигналов. Поэтому в каждом конкретном случае приходится искать компромиссное решение, исходя из характера сигнала, требуемой точности его восстановления, характеристик применяемого сглаживающего фильтра и других факторов. Все это приводит к тому, что в реальных устройствах частота дискретизации выбирается равной не как следует из теоремы Котельникова, а в 2—5 раз выше.

Рис. 2.8. Сигнал с конечной длительностью и его спектр