ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1. Вывод формулы спектральной плотности дискретизированного сигнала

Определим спектр дискретизированного сигнала представляющего собой последовательность -функций, «промодулированных» исходным непрерывным колебанием

Как следует из дискретизированный сигнал представляет собой произведение функции на функцию которая в свою очередь представляет собой периодическую последовательность -функций. Чтобы найти спектр функции найдем сначала спектр периодической последовательности -функций.

Как всякую периодическую функцию, можно разложить в ряд Фурье

где

На интервале функция есть единичный импульс Следовательно,

Подставляя получим

Таким образом, сигнал можно представить в виде бесконечной суммы гармонических составляющих с одинаковой амплитудой.

Как известно, спектральная плотность гармонического сигнала

описывается выражением

Поскольку функция представлена в виде бесконечной суммы гармонических составляющих а каждая гармоническая составляющая имеет спектральную плотность получим выражение для спектральной плотности сигнала в виде бесконечной последовательности -функций:

В связи с тем, что дискретизированный сигнал равен произведению сигналов его спектральная плотность равна свертке спектральных плотностей сомножителей:

Подставляя (П1.6) в (П1.7) получим