§ 4.3. Частотные характеристики цифровых фильтров

До сих пор мы не рассматривали такую важную характеристику цифрового фильтра, как частотная, В какой-то мере роль частотной характеристики играет системная функция. Однако использовать только системную функцию не всегда удобно, особенно при рассмотрении цифровых систем обработки сигналов, аналогичных фильтрам верхних частот, фильтрам нижних частот, полосовым и режекторным фильтрам. Как известно, для описания аналоговых фильтров часто используют частотную характеристику (частотный коэффициент передачи). Поскольку система цифровой обработки сигналов должна выполнять те же функции, что и аналоговый фильтр, для такой системы в целом и для входящих в нее цифровых фильтров также следует определить частотную характеристику.

Частотная характеристика (частотный коэффициент передачи) аналогового фильтра может быть определена как отношение спектра сигнала на выходе фильтра при некотором воздействии к спектру входного сигнала

В качестве входного сигнала удобно использовать обобщенный гармонический сигнал тогда сигнал на выходе имеет вид

Для определения частотной характеристики цифрового фильтра на его вход (точнее говоря, на вход дискретного фильтра, так как эффекты квантования мы не учитываем) подают дискретизированный сигнал . Тогда сигнал на выходе будет иметь вид

Частотная характеристика цифрового фильтра имеет некоторые специфические свойства. Главное из них — это

периодичность. На вход цифрового фильтра подают дискретизированный сигнал с интервалом дискретизации для конкретного типа фильтра интервал —фиксированная величина. Спектр входного дискретизированного сигнала представляет собой периодическую функцию (см. рис. 2.4) с периодом

Сигнал на выходе цифрового фильтра также представляет собой последовательность отсчетов, взятых с интервалом Его спектр тоже описывается периодической функцией с тем же периодом

Рис. 4.12. Спектр сигнала на входе и на выходе цифрового фильтра, частотная характеристика цифрового фильтра

На рис. 4.12 изображены спектры сигналов на входе и выходе цифрового фильтра. По определению отношение определяет частотную характеристику цифрового фильтра. Нетрудно видеть, что также является периодической функцией с периодом Центральная часть частотной характеристики при повторяет частотную характеристику фильтра-прототипа, аналогичного данному цифровому фильтру.

Рассмотрим цифровой фильтр общего вида, который описывается разностным уравнением (4.12):

Пусть входной сигнал Тогда, по определению, сигнал на выходе фильтра Подставляя выражения для в уравнение (4.12), получим

откуда

Выражение (4.15) совпадает с выражением (4.14) для системной функции фильтра, если заменить на Таким образом, установлена простая связь между частотной характеристикой фильтра и его системной функцией:

Из выражения (4.16) следуют многие свойства частотной характеристики цифровых фильтров, в частности периодичность. Соотношение (4.16) позволяет определить положение нулей и полюсов частотной характеристики по известному положению особых точек системной функции . И наконец, формула (4.16) позволяет записать связь между частотной характеристикой цифрового фильтра и его импульсной характеристикой. Заменяя в формуле на получим

Таким образом, частотная характеристика цифрового фильтра связана с импульсной характеристикой соотношением, подобным дискретному преобразованию Фурье (3.3).

В качестве примера рассмотрим цифровой фильтр порядка, аналогичный -цепи, с импульсной характеристикой Системная функция такого фильтра определяется выражением

Заменяя на получим выражение для частотной характеристики

откуда найдем амплитудно-частотную характеристику

и фазо-частотную характеристику цифрового фильтра

Рис. 4.13, Частотная характеристика цифрового фильтра порядка, эквивалентного -цепи

На рис. 4.13 приведен график амплитудно-частотной характеристики цифрового фильтра при При график частотной характеристики цифрового фильтра почти совпадает с частотной характеристикой -цепи.

Определим положение особых точек передаточной функции рассматриваемого цифрового фильтра. Единственный полюс системной функции этого фильтра рис. 4.10) расположен в точке Заменяя на получим откуда

Единственному полюсу системной функции соответствует бесконечное число полюсов передаточной функции, расположенных с интервалом (рис. 4.14).

Рис. 4.14. Расположение полюсов функции цифрового фильтра порядка