Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 4.2. Важнейшие характеристики цифровых фильтровРассмотрим наиболее простые из цифровых фильтров — фильтры с постоянными параметрами. На вход цифрового фильтра подается входной сигнал предыдущие значения входного и выходного сигналов:
Рис. 4.1. Сигнал на входе Поэтому если на вход цифрового фильтра подать простейший сигнал в виде единичного импульса (рис. 4.2, а)
то на выходе получим сигнал в виде дискретной последовательности числовых значений, следующих с интервалом По аналогии с обычными аналоговыми цепями назовем этот ответный сигнал импульсной характеристикой фильтра
Рис. 4.2. Единичный импульс Подадим на вход фильтра произвольный дискретный сигнал Под действием первого элемента
Таким образом, выходной сигнал определяется как дискретная свертка входного сигнала и импульсной характеристики. В этом отношении цифровые фильтры аналогичны обычным цепям, где выходной сигнал равен свертке входного сигнала и импульсной характеристики. Формула (4.1) представляет собой алгоритм цифровой фильтрации. Если импульсная характеристика фильтра описывается последовательностью с конечным числом членов, то фильтр может быть реализован в виде схемы, изображенной на рис. 4.3. Здесь буквой Схема, изображенная на рис. 4.3, не является электрической схемой цифрового фильтра; эта схема представляет собой графическое изображение алгоритма цифровой фильтрации и показывает последовательность арифметических операций, выполняемых при обработке сигнала.
Рис. 4.3. Схема нерекурсивного цифрового фильтра Для цифровых фильтров, обрабатывающих сигналы в виде абстрактных числовых последовательностей, понятие «задержка на время Вернемся к схеме цифрового фильтра, изображенной на рис. 4.3, Такие фильтры, где для расчета используются лишь значения входного сигнала, называют простыми или нерекурсивными. Алгоритм нерекурсивного фильтра легко записать, если известна импульсная характеристика фильтра. Для практической реализации алгоритма необходимо, чтобы импульсная характеристика содержала конечное число членов. Если импульсная характеристика содержит бесконечное число членов, но они быстро убывают по величине, то можно ограничиться конечным числом членов, отбросив те, значения которых малы. В случае, если элементы импульсной характеристики не убывают по величине, алгоритм нерекурсивного фильтра оказывается нереализуемым.
Рис. 4.4. В качестве примера рассмотрим простейший цифровой фильтр, аналогичный
Чтобы записать импульсную характеристику соответствующего цифрового фильтра, в выражении
Такая импульсная характеристика содержит бесконечно много членов, но их величина убывает по экспоненциальному закону, и можно ограничиться Теперь можно записать выражение для сигнала на выходе фильтра
Это выражение является одновременно алгоритмом цифрового фильтра. Схема этого фильтра представлена на рис. 4.5. Второй подход к анализу процессов в цифровых фильтрах аналогичен операторному методу анализа обычных аналоговых цепей, только вместо преобразования Лапласа используют
Рис. 4.5. Схема нерекурсивного цифрового фильтра, аналогичного Определим параметр цифрового фильтра, аналогичный передаточной функции
Функцию В соответствии с выражением (4.1) сигнал на выходе цифрового фильтра равен дискретной свертке входного сигнала и импульсной характеристики фильтра. Применяя к этому выражению теорему о
Таким образом, системная функция В качестве примера найдем системную функцию цифрового фильтра первого порядка, аналогичного
Третий метод анализа прохождения сигналов через цифровые фильтры аналогичен классическому методу дифференциальных уравнений. Рассмотрим этот метод на примере цепей Простейшей аналоговой цепью 1-го порядка является
Для дискретной цепи вместо дифференциального уравнения (4.8) должно быть записано разностное уравнение, где входной и выходной сигналы
Применим к уравнению
откуда найдем системную функцию фильтра
Формула (4.10) является достаточно общим выражением для системной функции цифрового фильтра 1-го порядка. При Найдем алгоритм цифровой фильтрации, соответствующий системной функции (4.10). Для этого решим уравнение (4.9) относительно
Эквивалентная схема этого алгоритма приведена на рис. 4.6. По сравнению с нерекурсивным фильтром (см. рис. 4.5) здесь добавилась своеобразная «цепь обратной связи», которая означает, что значения выходного сигнала используются в последующих
Рис. 4.6. Схема рекурсивного цифрового фильтра, аналогичного расчетах. Фильтры такого типа называют рекурсивными. Алгоритм (4.11) соответствует фильтру, который полностью эквивалентен рассмотренному ранее нерекурсивному фильтру. Но для определения одного значения выходного сигнала с помощью алгоритма нерекурсивного фильтра (4.4) требуется выполнить Рассмотренные примеры показывают, что нет смысла применять нерекурсивные алгоритмы для создания цифровых фильтров с импульсной характеристикой большой протяженности. В этих случаях целесообразнее использовать рекурсивные фильтры. Область применения нерекурсивных алгоритмов — это реализация цифровых фильтров с импульсной характеристикой, содержащей небольшое число членов. Примером может служить простейший дифференциатор, сигнал на выходе которого равен приращению входного сигнала:
Схема такого цифрового фильтра изображена на рис. 4.7.
Рис. 4.7. Схема простейшего цифрового дифференциатора Рассмотрим теперь цифровой фильтр общего вида, который описывается уравнением
Это уравнение можно рассматривать и как разностное уравнение
Рис. 4.8. Схема рекурсивного цифрового фильтра Алгоритму (4.13) соответствует схема, изображенная на рис. 4.8. Найдем системную функцию такого фильтра. Для этого применим к уравнению
откуда
Выражение (4.14) позволяет установить связь между шачениями элементов схемы фильтра и системной функцией. Коэффициенты в числителе системной функции (в нерекурсивной части фильтра), а коэффициенты в знаменателе Системная функция цифрового фильтра (4.14) является аналогом операторного коэффициента передачи аналоговой цепи. Как и передаточная функция, системная функция (4.14) может быть полностью охарактеризована положением своих нулей и полюсов в плоскости комплексного переменного
Рис. 4.9. Положение полюса системной функции фильтра Известно, что для физически устойчивой аналоговой системы полюсы расположены в левой полуплоскости комплексного переменного По аналогии можно определить расположение полюсов системной функции цифрового фильтра в плоскости комплексного переменного Для примера рассмотрим цифровой фильтр второго порядка, эквивалентный колебательному контуру. Импульсная характеристика колебательного контура имеет
где Заменяя
Найдем системную функцию этого фильтра как
Таким образом, Алгоритм данного фильтра запишем в виде
Схема, соответствующая этому алгоритму, приведена на рис. 4.10.
Рис. 4.10 Схема цифрового фильтра 2-го порядка, аналогичного колебательному контуру
Рис. 4.11. Положение нулей и полюсов системной функции цифрового фильтра 2-го порядка, аналогичного колебательному контуру Анализ выражения для системной функции показывает, что она имеет один нуль при
|
1 |
Оглавление
|