Прямой синтез цифровых фильтров.

Кроме рассмотренных методов синтеза цифровых фильтров, основанных на использовании аналогового фильтра-прототипа, большое распространение получили прямые методы синтеза. Прямой синтез цифровых фильтров сводится к нахождению функции, аппроксимирующей заданную частотную характеристику так, чтобы в результате аппроксимации получилось.

дробно-рациональное выражение для системной функции цифрового фильтра.

Соответствие между частотной характеристикой и системной функцией цифрового фильтра устанавливается соотношением (4.16). Для перехода от частотной характеристики к системной функции надо в выражении для частотной характеристики заменить на Чтобы получающееся при этом выражение для системной функции было дробно-рациональным, исходное выражение для должно быть дробно-рациональным относительно Поиск подходящей аппроксимации для является главной трудностью прямого метода синтеза цифровых фильтров.

Обычно задачу аппроксимации решают, подбирая для рациональное выражение относительно тригонометрических функций от Каждая из тригонометрических: функций может быть представлена в виде комбинации комплексных экспонент в результате чего можно получить выражение для частотной характеристики в требуемой форме.

Например, для фильтра нижних частот с частотой среза частотная характеристика может быть аппроксимирована выражением

График функции (4.31) почти не отличается от частот характеристик фильтров Баттерворта, изображенных на рис. 2.18.

Дальнейшая процедура синтеза цифрового фильтра сводится к следующему: 1) по заданным характеристикам рассчитывают порядок фильтра заменяя в выражении для на находят квадрат системной функции определяют положение полюсов функции и с помощью процедуры, изложенной в [2], находят положение полюсов функции исходя из положения полюсов, находят выражение для системной функции и записывают алгоритм цифровой фильтрации.

Более подробно прямые методы синтеза цифровых фильтров, включая вопросы устойчивости, изложены в [4] и [7].