4. Аппроксимация для асимптотически регулярного процесса

В этом параграфе рассматривается ограниченная последовательность, но ослабляются условия на итерационные коэффициенты. Не требуется, чтобы выподнялось условие типа

Теорема 4 утверждает сходимость оценок среднеквадратичном с вероятностью единица и показывает, что сходимость не зависит от начальных элементов последовательности но зависит от конечных элементов. По существу утверждения теорем совпадают с теоремами работы Комера [1], а математическое содержание теоремы подобно содержанию теоремы Буркхольдера [1], хотя они и доказываются при различных условиях. Кроме того, доказано, что эти условия являются достаточными.

Теорема (Комер). Пусть последовательность, которую мы определим ниже, а случайная величина, такая, что где — действительные числа. Предположим, что

(i) , где действительное число, случайная величина, такая, что .

(ii) и для любого где действительные числа, - такие, что Без ограничения общности предположим, что

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Пусть и

Отсюда вытекает существование такого что для

и если , то

но

Отсюда следует, что Остальные результаты получаются непосредственно из этого. Теорема доказана.

Теорема Предположим, что справедливы условия теорем Пусть дополнительно

Тогда

Доказательство. Пусть рассматриваемая последовательность случайных величин. Тогда

сходится к случайной величине при с вероятностью единица, поскольку имеет место неравенство Далее,

сходится к случайной величине с вероятностью единица.

Пусть.

Пусть Рассмотрим последовательность действительных чисел Обозначим через Таким образом, последовательность удовлетворяет следующим условиям:

Пусть таково, что для имеет место неравенство и пусть таково, что для

или

Таким образом, если то для

так как

Следовательно, последовательность ограничена сверху, а это противоречит соотношению

Отсюда Аналогично, Докажем теперь, что

Предположим, что Пусть Тогда сходится и

Рассмотрим первый из двух случаев:

Существуют действительные числа а и такие, что

для всех Существуют целое положительное такие, что если то

Существуют числа такие, что и если то отсюда вытекает неравенство для Ясно, что а и

Так как , то

откуда следует, что а это противоречит неравенству . Отсюда Аналогично можно рассмотреть случай Итак,

и, таким образом,

Покажем, что

Пусть Предположим, что и

Пусть — точка из упомянутого выше множества последовательностей Обозначим через последовательность, удовлетворяющую следующим, условиям:

Таким образом, существует такое, что если то Поэтому для

Так как

что противоречит сходимости почти всюду к конечному числу. Поэтому

и аналогично

Отсюда

Достаточное условие. Следующие условия являются достаточными для выполнения предположений теоремы Пусть последовательность является регулярной без детерминированной составляющей. Следуя Дубу [1], можно записать

где ортонормальная последовательность гауссовых случайных величин, определенная для всех целых из Тогда

Если положить

то будет стремиться к нулю при как и требуется в условии (ii) теоремы