Глава 6. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ

1. Введение

В гл. 2, 3 и 5 рассматривались случайные величины, порожденные последовательными схемами стохастической аппроксимации. В этой главе мы изучим условия, при которых случайная величина является асимптотически нормальной. Для этого в нашем распоряжении имеются два главных метода. Первый из них принадлежит Чжуну [1], который доказывает асимптотическую нормальность с помощью классического метода моментов. Этот метод приспособлен Буркхольдером [1] для доказательства теоремы 1 и дает хорошее представление о структуре случайной величины. Второй метод — это элегантный метод Сакса [1], который доказывает асимптотическую нормальность, обобщая метод характеристических функций, сформулированный Лоэвом [1], на многомерный случай. Совсем недавно Фабиан [5] дал другое доказательство асимптотической нормальности (см. теорему 4), а результат Ходжа и Лемана [1] легко использовать на практике.

Можно было бы написать целую книгу о применениях асимптотической нормальности, однако ясно, что нам не стоит предпринимать сейчас такой попытки. Мы ограничимся изучением доверительных интервалов и задач, которые проливают свет на полезность этого понятия. В работе Шелквижика [1] приводятся дальнейшие применения.