3. Многомерные характеристические функции

Рассматривая векторы, как элементы некоторого -мерного евклидова пространства, введем следующие обозначения. Если х, у — векторы, то через будет обозначаться их скалярное произведение. Норма вектора х обозначается символом и равна Если А есть -матрица, положим, как обычно,

Полезно напомнить следующие очевидные факты:

Символом мы будем обозначать единичную матрицу, обозначают транспонированные матрицу и вектор х соответственно. Если не оговорено противное, то вектор рассматривается как вектор-столбец.

Пусть семейство векторных случайных величин; распределение обозначается через Пусть

и предположим, что с вероятностью единица. Обозначим матрицу ковариации

вектора через Пусть и пусть все суммирования производятся по Для положим

Теорема 6. (Сакс). Если

для каждого

то вектор асимптотически. нормален со средним нуль и матрицей ковариации

Доказательство. Пусть суть -мерные функции распределения с характеристическими функциями и конечными матрицами ковариации соответственно, а Пусть 0, и обозначают числа, абсолютные значения которых меньше 1. Пусть и А— дополнение А. Тогда для фиксированного

Обозначим через нормальное распределение со средним нуль и матрицей ковариации Пусть семейство независимых случайных величин с распределением для Дополнительно предположим, что независима от Легко видеть, что вектор асимптотически нормален со средним нуль и матрицей ковариации Пусть означают характеристические функции величин соответственно. Пусть

Очевидно, для доказательства теоремы достаточно показать, что для любого фиксированного

Пусть

Тогда

Из соотношений (4), (5) и того факта, что получаем

При первый и третий члены правой части этого неравенства стремятся к нулю в силу соотношений (1) и (3); второй член есть в силу неравенства (2), а последний член стремится к нулю, так как нормальное распределение с матрицей ковариации которая стремится к нулю при равномерно по Поскольку произвольно, это завершает доказательство теоремы.

Задача 1. Пусть - семейство случайных величин, определенных на вероятностном пространстве и принимающих значения в -мерном евклидовом пространстве Пусть

есть семейство -подполей поля таких, что для каждого в то время как для измерима относительно Предположим, что

где все суммирования производятся по Тогда имеем