4. Задача о неподвижной, точке

Изучим решение уравнения

посредством итераций

Определение. Говорят, что точка 0 является неподвижной точкой для функции если 0 удовлетворяет условию (1). Рассмотрим, как она связана с решением уравнения Пусть любая функция, такая, что конечно и отлично от нуля. Пусть

Значение 0 является решением уравнения тогда и только тогда, когда 0 является неподвижной точкой для

Докажем теперь некоторые результаты относительно условий, при которых решение задачи о неподвижной точке существует.

Лемма 1. Пусть — непрерывная функция, отображающая замкнутый ограниченный отрезок Тогда существует точка такая, что

Доказательство. Так как функция отображает то

Пусть Отсюда тогда существует точка 0, такая, что т. е. что и требовалось доказать.

Условие Липшица. Чтобы получить дополнительные выводы, следует наложить на функцию некоторые ограничения. Пусть

для любых точек с и из Легко видеть, что из условия (4) следует непрерывность функции Докажем теперь единственность решения уравнения

Лемма 2. Пусть функция, отображающая и удовлетворяющая условию (4). Тогда имеет не более одного решения.

Доказательство. Предположим, что существуют два различных решения Тогда

но это невозможно. Отсюда

Замечание. Мы установили условия существования и единственности решения 0 уравнения Покажем теперь, что последовательность сходится к этому решению.

Лемма 3. Пусть I — замкнутый ограниченный интервал и функция, отображающая и

влетворяющая условию (4). Пусть произвольная точка из I, и пусть Тогда последовательность сходится к единственному решению уравнения

Доказательство.

Из условия (4) следует, что

где Таким образом, с помощью итерации можно получить следующее неравенство:

когда (поскольку Отсюда при

Оценка ошибки. Можно, получить оценку ошибки аппроксимации, зависящую только от первых двух аппроксимаций и константы Липшица.

Из условия (4) получаем для любого

Пусть произвольные положительные целые числа. Тогда

Используя тот факт, что модуль суммы не больше суммы модулей, приходим к неравенству

Отсюда, применяя (5), получаем

Тогда