Глава 8. МЕТОД «ВВЕРХ И ВНИЗ»

1. Введение

Метод «вверх и вниз» используется в тех случаях, когда желательно оценить критическое измерение некоторой реакции. Согласно этому методу, эксперимент проводится на уровне (это может быть количество реагента или высота, с которой сбрасывается бомба) и проверяется реакция (в данном "случае химическая реакция или взрыв). Если реакция имеет место, то уровень снижают на величину т. е. до фиксированное число). Если реакция не имеет места, то уровень поднимают до Таким образом, уровнями являются

В следующем параграфе мы сформулируем задачу математически, чтобы развить статистический метод анализа этого процесса.

2. Метод «вверх и вниз»

В основе метода Диксена и Муда [1] лежат следующие предположения:

1. Естественная случайная величина должна быть преобразована в новую величину, которая распределена нормально. Хорошо известно, что во многих областях при достаточно богатом опыте экспериментальной работы с исследуемыми данными можно охарактеризовать природу функции распределения рассматриваемой случайной величины из чисто практических соображений. Часто в экспериментах этого типа, связанных с определением летальной дозы,

можно предполагать, что логарифм высоты (концентрации дозы) распределен нормально.

2. Мы должны иметь некоторое представление о стандартном отклонении преобразованной нормально распределенной величины.

Когда используемые в эксперименте уровни для высоты являются равноотстоящими и интервал между ними равен Диксей и Муд [1] предложили выбирать приблизительно равным стандартному отклонению. Однако они показали, что возможен простой статистический анализ даже в том случае, если используемый интервал меньше удвоенного стандарт ного отклонения;

3. Поскольку в методе используется теория больших выборок, объем выборки должен быть достаточно «большим», чтобы можно было провести статистический анализ. Диксен и Муд предложили ограничить его выборками объема более пятидесяти наблюдений.

Математическая формулировка. Пусть при указанных выше предположениях высота в эксперименте, в котором исследуется чувствительность взрывчатого вещества к удару, так что есть грубая оценка для а — является интервалом между проверямыми высотами. Эксперимент проводится так, как было описано ранее. Первый образец испытывается на уровне, ближайщем кожидаемому среднему. Уже сама природа экспериментального подхода подсказывает, что число отказов на любом данном уровне может отличаться от числа взрывов на ближайшем более высоком уровне самое большее на единицу. Пусть число отказов, число взрывов, происшедших на уровне. Тогда

начальный уровень, соответствующий высоте Пусть

Вероятность получения такой выборки равна

где равно вероятности взрыва на уровне,

не зависит от Теперь

Поэтому в множествах или содержится практически вся информация, которую дает данная выборка. Для проведения анализа выбирается меньшее из (например, Теперь ожидается, что будет малым. Однако в случае, когда начальный уровень был выбран довольно плохо, надо затратить некоторое количество наблюдений, чтобы достигнуть окрестности среднего значения; такие наблюдения почти не уточняют положение среднего. Этой частью информации поэтому пренебрегают, и для упрощения анализа функция правдоподобия, которую следует максимизировать, берется в виде

Применяя принцип максимального правдоподобия для оценки приравняем производные нулю:

Здесь стандартизованная переменная и

есть ордината -величины при

Положим

Теперь

ожидаемое число наблюдений на -м уровне

Хорошие аппроксимации для корней уравнений максимального правдоподобия могут быть получены при

Рассмотрим

где

Это выражение приблизительно линейно по и и, аналогично,

приблизительно квадратично по

Таким образом, полагая

имеем

Итак, Диксен и Муд показали, что оценки максимального правдоподобия для и а суть

где — нормализованная высота, соответствующая самому низкому уровню, на котором имеет место меньшая частота события (между взрывом и отказом), причем знак плюс используется, если анализ основывается на отказе, и наоборот,

Вторые производные дают дисперсии и ковариации оценок цист. Описываемое в следующем параграфе применение этого метода было исследовано Нараяной [1].