3. Применение к преобразованию эмпирической кривой эффекта

Применим метод «вверх и вниз» к случаю эмпирической кривой эффекта, когда допуск предполагается распределенным скорее прямоугольно, чем нормально. Мы будем считать, что имеется ровно уровней вероятность взрыва на уровне равна Вероятность

того, что следующий эксперимент, будет проводиться на уровне равна а вероятность его проведения на уровне равна Эксперимент является, таким образом, марковской цепью со стохастической матрицей порядка

Эта стохастическая матрица характеризует «модель Эренфестов», которая характеризует диффузию при наличии центральной силы; см. Феллер [1].

Бели является стационарным распределением, то, предполагая, что мы начали с уровня или с любого другого уровня, отличающегося от указан; ного на кратное двум (например, и т. д.), найдем, что после испытаний, где велико, вероятности равны нулю, а после испытаний при большом вероятности равны нулю. Предельное распределение после большого числа испытаний зависит, как показано ниже, от уровня, с которого мы начали эксперимент, и от того, четное или нечетное число испытаний было проведено:

Далее,

Так что после испытаний

а после испытаний

Требуемым решением является поэтому

Пусть обозначает наблюдение в эксперименте, использующем метод «вверх и вниз» в случае преобразования эмпирической кривой эффекта. Тогда можно получить значения для любого

Оценка Предполагается, что мы начали эксперимент с уровня первое наблюдение обозначается через Второе наблюдение будет проводиться на уровне с вероятностью или на уровне с вероятностью Пусть означает наблюдение, сделанное в таком эксперименте, например на уровне Тогда

производится на уровне с вероятностью или на уровне с вероятностью

Обозначим через

т. е.

Решение этого разностного уравнения получается на основе соответствующего однородного уравнения

решением которого являемся

Значение является решением уравнения (1), если т. е. если

Таким образом, получаем

в качестве решения уравнения (1), где константа определяется из начального условия

и

Оценка дисперсии Обозначим дисперсию через Пусть наблюдение производится на уровне Рассмотрим условное математическое ожидание величины

(кликните для просмотра скана)