Приложение 1. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА

1. Введение

Итерационные методы были хорошо известны математикам еще до Ньютона. Они широко используются как в теоретических, так и в прикладных работах. Область их применимости особенно расширилась с изобретением вычислительных машин, с помощью которых можно в течение нескольких секунд произвести вычисления, для выполнения которых раньше требовалось много дней. Эти методы часто используются и в задачах определения положения точки, в которой данная функция ведет себя определенным образом, например в задачах отыскания корня уравнения или определения положения максимума функции. В этой главе мы обсудим два итерационных метода: прототип метода Ньютона — Рафсона и сам метод Ньютона — Рафсона. Мы изучим условия, при которых последовательности, порождаемые этими методами, сходятся к требуемой точке решения. Относительно более подробного изложения этих вопросов и связанных с ними результатов мы отсылаем читателя к работам Островского [1] и Трауба [1].

2. Прототип метода Ньютона — Рафсона

Пусть функция, определенная и принимающая значения в действительном отрезке Мы хотим решить уравнение

в котором вид функции неизвестен, однако известно, что она возрастает и непрерывна. Это можно сделать следующим образом. Выберем

произвольно и рассмотрим последовательность задаваемую следующим равенством:

Тогда при надлежащих условиях, которые будут описаны в § 4, сходится к такому значению 0, что Эта процедура аналогична методу пропорционального управления. Иллюстрацией этого метода служит рис. 3. Естественным вопросом при этом является вопрос о выборе значения коэффициента а.

Рис. 3.

Очевидно, для. того чтобы обеспечить высокую скорость сходимости, мы должны положить Но так как 0 неизвестно, мы приходим к следующему методу.