5. Оценка интенсивности реакции

При биологических испытаниях с целью оценки, интенсивности реакции подопытным животным дают фиксированную дозу лекарственного препарата. Для каждого животного можно наблюдать только один из двух возможных результатов: его гибель или

выживание. Гаддум [1] предложил модель такого эксперимента. Предполагается, что для каждого животного существует «минимальная летальная доза», такая, что любая более высокая доза вызывает гибель животного, а при меньшей дозе животное выживает. Так как животные в эксперименте меняются, предполагается, что существует плотность распределения «минимальной летальной дозы». Если дана доза х, то вероятность случайного события — гибели животного — есть

Функция график которой называется кривой эффекта, является функцией распределения Средняя летальная доза определяется равенством Обычно задачу оценки решают следующим непоследовательным методом.

Если животных взяты независимо и дана доза х, то вероятность того, что животных погибнет, выживет, вычисляется по биномиальному закону

где

Если животным даны уровней доз причем для каждого уровня дозы взято животных, то вероятность того, что животных выживет, равна

где

Далее с помощью метода максимального правдоподобия, если известен вид функцииполучается оценка или может быть оценена любая другая процентиль. Однако в этом параграфе мы откажемся от этого обычно применяемого метода и, следуя Вентеру [1], используем метод стохастической

аппроксимации. Предположим, что выполнены следующие условия для функции плотности:

Эти условия являются более жесткими, чем это требуется для рассматриваемой задачи; однако именно в таком виде они будут нам необходимы в последующих главах. Пусть шит - действительные числа, такие, что Для каждого действительного х определим

Здесь использовано условие (i) и тот факт, что

Далее, для каждого х пусть биномиальная случайная величина, такая, что

Задача, которой мы интересуемся в этом параграфе, состоит в оценке тих или функций этих параметров при условии, что возможно производить наблюдения случайной величины для любого значения х. Некоторые результаты, связанные с этой задачей, можно найти у Кохрана и Дэвиса [1] и [2], а также в работах, упоминающихся в их статье. Мы также рассматривали эту ситуацию в начале гл. 2 при анализе наличия реакции.

а) Оценка ей летальной дозы. Предположим, что известно и нужно оценить

Требуемый результат можно получить с помощью следующего рекуррентного соотношения: -

так как из предложений следует, что

Нетрудно показать, что

и выполняются все условия теоремы Дворецкого, так что в среднеквадратичном и с вероятностью единица при

Оценка -квантили эффективной Аналогично предыдущему мы можем взять такое, что

и построить процедуру Роббинса-Монро для оценки Такйм образом, задача количественной оценки реакции в общем случае может быть решена следующим образом. Определим как (единственное) решение уравнения

Положим

Используя (5), получим, что однозначно

определяется уравнением

и поэтому зависит только от Из (i) имеем

Часто бывает интересно оценить При известном это можно сделать, оценивая как ивыше, и применяя (13) для вычисления оценки

Оценка является решением уравнения (12). Легко проверить, что выполнены все условия метода Роббинса — Монро. Поэтому можно оценить также непосредственно с помощью следующего рекуррентного соотношения:

Мы снова вернемся к этой задаче при рассмотрении асимптотического распределения.. Из всего сказанного ясно, что метод Роббинса — Монро очень полезен в задачах, связанных с биологическими экспериментами. Дэвис [1] рассмотрел применение метода Роббинса — Монро, вариант Кестена метода Роббинса — Монро и его модификацию, используемую в задачах, связанных с биологическими экспериментами, а также произвел их сравнение. Везерил отмечает, что для оценки -процентили или близких к ней этот метод не является эффективным (см. Везерил [2] и Гутман Л. и Гутман Р. [1]).