5. Метод Ньютона — Рафсона

Определим теперь итерационный метод численного анализа, так называемый метод Ньютона — Рафсона, и сравним его с методом стохастической аппроксимации.

Пусть функция, отображающая действительный отрезок в причем вид функции неизвестен. Задача состоит в решении уравнения а. Это можно сделать с помощью следующего итерационного метода. Выберем произвольное из интервала I и используем такую рекуррентную схему для построения последовательности, сходящейся к требуемому решению:

где производная функции в точке В приложении 1 сформулированы условия, при которых решение существует. Соотношение (1) может быть записано в следующем виде:

где величины предполагаются существующими и ограниченными. Из уравнения (1) § 1.3 имеем:

Уравнение (3) похоже на уравнение (2), однако в нем имеется дополнительный член — (который может быть охарактеризован как «шум», возникающий потому, что значение не является точно наблюдаемым). Таким образом, чтобы получить решение, мы будем предполагать выполненными всеусловия, сформулированные в приложении 1. А именно будем считать монотонной и непрерывной на отрезке и удовлетворяющей на нем условию Липшица. Кроме того, будем предполагать, что выполнены условия, при которых «шум» исчезает с возрастанием номера итерации. Это в сущности то, чем мы будем заниматься в последующих главах.