4. Некоторые теоремы об условном математическом ожидании

Неравенство Колмогорова. Если — случайные величины, такие, что

то для любого

Доказательство. Пусть Тогда

где Определим попарно несовместные множества для

Заметим, что имеет место неравенство так как

Если

Предположим, что Тогда

Продолжая подобным образом, получим

тогда

так как несовместны. Отсюда

или

Следствие. Предположим, что случайные величины, такие, что для тогда для каждого

Доказательство. Пусть

Заметим, что «определяют» и, обратно, определяются через так как

Таким образом,

Поэтому можно применить предыдущее неравенство.

Специальный случай. Если независимы и то

Из неравенства Чебышева следует, что

Лемма 1. Если последовательность случайных величин, такая, что

то последовательность случайных величин

сходится к случайной величине с вероятностью единица.

Доказательство. Пусть Пусть положительное число, такое, что

Пусть тип удовлетворяют условию Покажем, что

откуда следует требуемый результат.

Рассмотрим случайные величины

Надо доказать, что Докажем равенство

откуда будет следовать, что

Если «определяют» и обратно. Поэтому

и утверждение доказано.

Таким образом, применяя следствие неравенства Колмогорова, мы получим, что

Далее, если то

Так как

имеем

Доказательство закончено.

Лемма. Допустим, что сходящаяся последовательность действительных чисел, а

последовательностъ положительных чисел, такая, что расходится. Тогда

Доказательство. Пусть конечно), целое положительное число, такое, что если то Пусть - целое положительное число, большее чем и такое, что

Тогда если то

Лемма Кронекера. Если действительная числовая последовательность, такая, что сходится, то

(кликните для просмотра скана)

Теорема 7. Если с вероятностью единицами если существует случайная величина такая, что с вероятностью единица, то

где борелевское поле.

Доказательство. Чтобы доказать теорему, определим равенством

Тогда

с вероятностью единица и с вероятностью единица (по условию с вероятностью единица),

с вероятностью единица. Поэтому достаточно доказать, что

так что должна иметь место сходимость.

Если с вероятностью единица, то

и правая часть стремится к нулю при поскольку она представляет собой интеграл от мажорируется величиной и стремится к нулю с вероятностью единица при Таким образом, так что с вероятностью единица, что и требовалось доказать.

Пусть борелевские поля И-измеримых множеств, причем тогда

с вероятностью единица. Например, случайные величины с то с вероятностью единица.

5. Задачи

(см. скан)