Главная > Стохастическая аппроксимация
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3. Две функции регрессии для кинетической модели

В литературе по фармакологии обсуждалось несколько кинетических моделей совместного действия лекарственных препаратов, к которым могут быть применены методы стохастической аппроксимации.

В этом параграфе мы рассмотрим простую модель антагонизма конкурентного типа и покажем, как можно использовать для анализа модели метод Роббинса — Монро. Эти задачи рассматривались Перрином [1] и Эплингом [1].

а) Антагонизм конкурентного типа. Предположим, что лекарственный препарат, — будем называть его «агонистом» — вызывает некоторую, поддающуюся количественной оценке биологическую реакцию в организме путем непосредственного соединения со специфической группой рецепторов в данном организме. Предположим также, что вызываемая им реакция характеризуется возрастающей функцией на некотором отрезке от доли рецепторов, соединившихся с «агонистом». Предположим далее, что второй лекарственный препарат, «антагонист», может соединяться с рецепторами того же самого типа, инактивируя их или делая их недоступными для «агониста». Итак, если два лекарственных препарата вводятся совместно, «антагонист» заметно уменьшает долю рецепторов, соединяющихся с «агонистом», и таким образом подавляет реакцию. Такую модель часто рассматривают

для анализа антагонизма конкурентного типа между лекарственными препаратами. В следующем пункте эта задача формулируется математически и показывается, как можно использовать для ее анализа метод Роббинса — Монро.

b) Математическая формулировка. Рассмотрим два семейства случайных величин с распределениями, математическими ожиданиями и дисперсиями , соответственно. Предположим, что обладают следующими свойствами:

(i) является строго монотонно возрастающей непрерывной функцией от х.

(ii) Для любого заданного действительного а существует пара такая, что

Обозначим общее значение через и пусть последовательность положительных чисел, обладающая следующими свойствами:

Пары экспериментов проводятся последовательно следующим образом. Пусть два произвольных начальных уровня, а наблюдаемые значения. Проведем пару экспериментов на уровнях определенных следующим образом:

где

Вообще пусть обозначают уровни пары экспериментов, а обозначают наблюдаемые реакции при этой паре экспериментов. Положим

Тогда уровни для пары экспериментов равны

Допустим, что и независимы для данных Пусть

Существуют положительные константы такие, что

При этих условиях далее показывается, что последовательности и определяемые условием (3), сходятся в среднеквадратичном и с вероятностью единица к соответственно и что с вероятностью единица. Предположим, что с вероятностью единица сходятся к пределам По определению

для всех отсюда Если например то а в силу строгой монотонности окрестности 0] для некоторого существуют и положительное такие, что

для всех с вероятностью, большей, чем 1—6. Но так как это означает, что

где не сходится к действительному числу. Мы пришли к противоречию. Таким образом, если сходятся, то они должны сходиться к 0, и задаваемым условием (1).

Для каждого возможного определим семейство случайных величин

Функция является строго монотонно возрастающей от дисперсия

с) Одномерная стохастическая аппроксимация. Построим последовательность , в которой выбрано произвольно, а следующие уровни определяются рекуррентно с помощью соотношения

где наблюдаемая реакция на уровне Для каждого фиксированного а правило устанавливает взаимно однозначное соответствие между возможными последовательностями определенными выше, и последовательностью определенной формулой (6). Сходимость к нулю эквивалентна сходимости Семейство случайных величин очевидно, удовлетворяет всем условиям теоремы Дворецкого, за исключением, быть может, условия (4), которое также оказывается справедливым и может быть проверено следующим образом:

Так как то последовательность Роббинса — Монро определенная равенством (6), сходится к нулю в среднеквадратичном и с вероятностью единица. Таким образом, для любого начального уровня существуют (зависящие от этого начального уровня), такие, что сходится к в среднеквадратичном и с вероятностью единица. Равенство имеет место с вероятностью единица по предположению (1).

Итак, построение процедуры решения задачи о двух кривых регрессии эквивалентно построению одномерного разностного процесса, из сходимости которого к нулю и следует требуемый результат.

Аналогичным образом можно рассмотреть случай, когда в кинетической модели используется более двух лекарственных препаратов, и определить эффективные уровни доз, как это было сделано в случае в проведенном выше рассуждении.

1
Оглавление
email@scask.ru