Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3. Оптимальный выбор {аn} и {сn}Для того чтобы определить оптимальный выбор
где
а этого достаточно для того, чтобы (1) имело место. Если
Следующие леммы принадлежат Чжуну Лемма 1. Если для всех
где
Лемма 2. Если для всех
где
Оба утверждения остаются справедливыми, если неравенства заменить на противоположные, Прежде чем доказывать теоремы, введем некоторые обозначения. Определение. Если
Определение. Запись
Определение. Символ о используется лишь в следующем смысле:
Теорема 2 (Дупач). Из соотношений (I), (II) теоремы 1, а также соотношений (10), (11) и (12) следует, что
(Заметим, что Доказательство. Возьмем в (9) математические ожидания и применим оценку (7) к (кликните для просмотра скана) Для
Таким образом,
Для
Так как
Итак, условия леммы 2 выполнены и
Теорема 3 (Дупач). Из теоремы 2 следует, что если имеют место соотношения (I) и (II),
то
Этот выбор является оптимальным в следующем смысле. Предположим, что
таковы, что выполнены соотношения (10), (11) и (12). Если
Доказательство. Возьмем сначала
Применяя это неравенство и левое из неравенств (3) к соотношению (6) и отбрасывая в нем последний член, получаем
откуда, вычисляя математическое ожидание, находим, что
Подставляя
в (18) и применяя в (20) полученное выражение, мы получим следующее:
так как
где
Поэтому из неравенства
получим
где
при условии, что
Тогда (II) выполняется с
Применяя (4) и (7) к соотношению (6), имеем
так что для
Из (6) следует также, что
Прежде всего нам нужна некоторая оценка для
Если
Второй член положителен, а четвертый удовлетворяет неравенству
Поэтому
Из (26) и (27) следует соответственно, что
Подставляя (28) в (23), получаем
Для
для всех
Так как
Из неравенства Чебышева мы получаем, таким образом, что
при условии, если
а в силу соотношения (25)
Используя (30), мы получим следующее:
а после подстановки полученных соотношений в (31) такое неравенство:
для всех
и потому в любом случае для всех
Подставляя (32) в (29), имеем
а это при подстановке в (24) дает для
Снова применяя леммы 3 и 4, приходим к выводу, что
т. е.
Тем самым, установлена оптимальность
|
1 |
Оглавление
|