3. Оптимальный выбор {аn} и {сn}

Для того чтобы определить оптимальный выбор надо сначала изучить, как быстро стремится к нулю для последовательностей вида

где

а этого достаточно для того, чтобы (1) имело место. Если полагаем

Следующие леммы принадлежат Чжуну и доказаны в приложении о неравенствах. Они будут использоваться в теореме 2, в которой оценивается скорость сходимости, и в теореме 3, в которой определяются оптимальные последовательности

Лемма 1. Если для всех

где

Лемма 2. Если для всех

где , то

Оба утверждения остаются справедливыми, если неравенства заменить на противоположные, на На эти результаты мы будем ссылаться как на леммы 3 и 4. Подробные доказательства этих лемм читатель может найти приложении о неравенствах.

Прежде чем доказывать теоремы, введем некоторые обозначения.

Определение. Если две последовательности, то запись означает, что

Определение. Запись означает, что

Определение. Символ о используется лишь в следующем смысле:

Теорема 2 (Дупач). Из соотношений (I), (II) теоремы 1, а также соотношений (10), (11) и (12) следует, что

(Заметим, что лишь в случае, когда

Доказательство. Возьмем в (9) математические ожидания и применим оценку (7) к

(кликните для просмотра скана)

Для выполнены условия леммы 1 с

Таким образом,

Для имеем

Так как откуда для некоторого а в силу (12)

Итак, условия леммы 2 выполнены и

Теорема 3 (Дупач). Из теоремы 2 следует, что если имеют место соотношения (I) и (II),

то

Этот выбор является оптимальным в следующем смысле. Предположим, что

таковы, что выполнены соотношения (10), (11) и (12). Если или то существуют для которых выполнены условия (I) и (II), причем

Доказательство. Возьмем сначала и предположим, что

Применяя это неравенство и левое из неравенств (3) к соотношению (6) и отбрасывая в нем последний член, получаем

откуда, вычисляя математическое ожидание, находим, что

Подставляя

в (18) и применяя в (20) полученное выражение, мы получим следующее:

так как влечет за собой Для выполняются условия леммы 3. Поэтому

где для некоторого поскольку влечет за собой если Для выполняются условия леммы 4, если выбрано столь малым, что

Поэтому из неравенства

получим

где для некоторого так как Отсюда в области

при условии, что или Теперь возьмем а таким, чтобы

Тогда (II) выполняется с Пусть выполнено (I) с Для простоты положим

Применяя (4) и (7) к соотношению (6), имеем

так что для произвольно,

Из (6) следует также, что

Прежде всего нам нужна некоторая оценка для Из (21) получаем, что для всех

Если для и 0 в остальных точках X, то (26) можно записать в следующем виде:

Второй член положителен, а четвертый удовлетворяет неравенству

Поэтому

Из (26) и (27) следует соответственно, что

Подставляя (28) в (23), получаем

Для так как мы имеем поэтому следующее:

для всех Из лемм 1 и 2, так как произвольно, мы получим тогда следующую оценку:

Так как (в силу неравенства (12) с то Отсюда для любого

Из неравенства Чебышева мы получаем, таким образом, что

при условии, если Из определения

а в силу соотношения (25)

Используя (30), мы получим следующее:

а после подстановки полученных соотношений в (31) такое неравенство:

для всех Применяя леммы 3 и 4, имеем

и потому в любом случае для всех больших некоторого

Подставляя (32) в (29), имеем

а это при подстановке в (24) дает для

Снова применяя леммы 3 и 4, приходим к выводу, что

т. е.

Тем самым, установлена оптимальность в класее, определяемом формулами и (11).