Главная > Стохастическая аппроксимация
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3. Оптимальный выбор {аn} и {сn}

Для того чтобы определить оптимальный выбор надо сначала изучить, как быстро стремится к нулю для последовательностей вида

где

а этого достаточно для того, чтобы (1) имело место. Если полагаем

Следующие леммы принадлежат Чжуну и доказаны в приложении о неравенствах. Они будут использоваться в теореме 2, в которой оценивается скорость сходимости, и в теореме 3, в которой определяются оптимальные последовательности

Лемма 1. Если для всех

где

Лемма 2. Если для всех

где , то

Оба утверждения остаются справедливыми, если неравенства заменить на противоположные, на На эти результаты мы будем ссылаться как на леммы 3 и 4. Подробные доказательства этих лемм читатель может найти приложении о неравенствах.

Прежде чем доказывать теоремы, введем некоторые обозначения.

Определение. Если две последовательности, то запись означает, что

Определение. Запись означает, что

Определение. Символ о используется лишь в следующем смысле:

Теорема 2 (Дупач). Из соотношений (I), (II) теоремы 1, а также соотношений (10), (11) и (12) следует, что

(Заметим, что лишь в случае, когда

Доказательство. Возьмем в (9) математические ожидания и применим оценку (7) к

(кликните для просмотра скана)

Для выполнены условия леммы 1 с

Таким образом,

Для имеем

Так как откуда для некоторого а в силу (12)

Итак, условия леммы 2 выполнены и

Теорема 3 (Дупач). Из теоремы 2 следует, что если имеют место соотношения (I) и (II),

то

Этот выбор является оптимальным в следующем смысле. Предположим, что

таковы, что выполнены соотношения (10), (11) и (12). Если или то существуют для которых выполнены условия (I) и (II), причем

Доказательство. Возьмем сначала и предположим, что

Применяя это неравенство и левое из неравенств (3) к соотношению (6) и отбрасывая в нем последний член, получаем

откуда, вычисляя математическое ожидание, находим, что

Подставляя

в (18) и применяя в (20) полученное выражение, мы получим следующее:

так как влечет за собой Для выполняются условия леммы 3. Поэтому

где для некоторого поскольку влечет за собой если Для выполняются условия леммы 4, если выбрано столь малым, что

Поэтому из неравенства

получим

где для некоторого так как Отсюда в области

при условии, что или Теперь возьмем а таким, чтобы

Тогда (II) выполняется с Пусть выполнено (I) с Для простоты положим

Применяя (4) и (7) к соотношению (6), имеем

так что для произвольно,

Из (6) следует также, что

Прежде всего нам нужна некоторая оценка для Из (21) получаем, что для всех

Если для и 0 в остальных точках X, то (26) можно записать в следующем виде:

Второй член положителен, а четвертый удовлетворяет неравенству

Поэтому

Из (26) и (27) следует соответственно, что

Подставляя (28) в (23), получаем

Для так как мы имеем поэтому следующее:

для всех Из лемм 1 и 2, так как произвольно, мы получим тогда следующую оценку:

Так как (в силу неравенства (12) с то Отсюда для любого

Из неравенства Чебышева мы получаем, таким образом, что

при условии, если Из определения

а в силу соотношения (25)

Используя (30), мы получим следующее:

а после подстановки полученных соотношений в (31) такое неравенство:

для всех Применяя леммы 3 и 4, имеем

и потому в любом случае для всех больших некоторого

Подставляя (32) в (29), имеем

а это при подстановке в (24) дает для

Снова применяя леммы 3 и 4, приходим к выводу, что

т. е.

Тем самым, установлена оптимальность в класее, определяемом формулами и (11).

1
Оглавление
email@scask.ru