Глава 1. ВВЕДЕНИЕ

I. Введение

Быстрое развитие вычислительной техники и ее применений вызывает большой интерес к прикладной математике и к развитию новых методов исследования новых ситуаций. Одной из таких областей является численный анализ, в особенности итерационные методы. Это старый и хорошо известный математический метод, широко применяемый как в теоретических, так и в прикладных работах. Однако его математический аналог — метод стохастической аппроксимации — возник относительно недавно и находится в стадии бурного развития.

Профессор X. Хотеллинг в статье [1], опубликованной, в 1941 г., обсудил многие идеи метода стохастической аппроксимации; затем в работах Фридмана и Севеджа [1], а также и других авторов появились родственные результаты. Но лишь Роббинс и Монро [1] в своей основополагающей статье дали формальную математическую трактовку этого вопроса и доказали много интересных результатов. С тех пор во многих работах по стохастической аппроксимации, появлявшихся в теоретических и прикладных журналах, отмечалась ее необходимость и растущая важность.

В этой главе рассматривается нисколько практических задач с тем, чтобы проиллюстрировать сущность излагаемой далее теории. Другие интересные примеры приводятся также в главе о применениях. Затем определяется метод стохастической аппроксимации и производится его сравнение с другим последовательным методом, так называемым методом «вверх и вниз», и с итерационными методами численного

анализа. Отмечаются некоторые его достоинства и недостатки, указывающие, в каких ситуациях выгодно использовать метод стохастической аппроксимации. В последнем параграфе резюмируются основные результаты каждой главы.

2. Иллюстративные примеры

a) Известно, что твердость сплава меди с железом зависит от времени, в течение которого сплав подвергается воздействию температуры 500° С. Пусть время, а -твердость сплава. Задача состоит в том, чтобы найти значение х, при котором сплав имеет данную среднюю твердость а. Хорошо известно, что твердость сплава меняется от образца к образцу.

b) Рассмотрим вопрос о чувствительности взрывчатого вещества к удару. Общий метод исследования таков: с некоторой фиксированной высоты на взрывчатые смеси сбрасывается определенный груз; при этом одни смеси будут взрываться, другие — нет. Каждый образец имеет критическую высоту. Задача состоит в определении этой высоты.

c) При испытании инсектицидов можно столкнуться с задачей определения критической дозы, дающей реакцию данной интенсивности.

d) Допустим, что на участок земли вносится удобрений; через обозначим урожай зерна (также в который, вероятно, будет невелик, если используется как малое, так и слишком большое количество удобрений. При каком-то среднем количестве удобрений урожай будет максимальным. От года к году урожайность участка, конечно, меняется, даже если х остается неизменным.