3. Применение к одной задаче из фармакологии

В § 3 гл. 4 мы обсудили кинетическую модель фармакологии для двух лекарственных препаратов, взаимодействующих по типу конкурентного антагонизма. Теперь рассмотрим кинетическую модель, в которой взаимодействует лекарственных препаратов. Задача может быть сформулирована математически следующим образом.

а) Математическая формулировка. Предположим, что имеется семейств случайных величин

с соответствующей функцией распределения

и

Далее, предположим, что функций регрессии удовлетворяют следующим условиям:

(i) существует вектор однозначно определяемый условиями

где функции строго монотонно возрастающие, непрерывные, а пересечение их областей значений является интервалом положительной длины. Пусть

Последовательность серий из экспериментов проводится следующим способом. Вектор начальных уровней

выбирается произвольно, а последовательные уровни для каждой серии экспериментов определяются равенством

где

Здесь

Предполагается, что экспериментов в каждой серии проводятся независимо. Другими словами, единственной зависимостью между экспериментами является зависимость, возникающая из рекуррентного соотношения для уровней, на которых они проводятся.

Предположим, что для всех существуют положительные действительные числа такие, что

Теорема 2. При указанных выше условиях

при с вероятностью единица.

Доказательство. Выберем

так, чтобы и положим Тогда сходимость величин к нулю при использовании семейств случайных величин эквивалентна сходимости величин к при использовании заданных семейств. Таким образом, без уменьшения общности можно взять в качестве нулевой вектор, а считать равными нулю для Итак, йужнодоказать, что (штрих мы будем опускать)

при с вероятностью единица. Далее

Пусть

где

Пусть

Теперь где Тогда последовательность (3) может быть записана в виде

и мы имеем

Скалярное произведение и обращается в нуль, так как а все компоненты равны

между собой. В силу тех же соображений обращается в нуль скалярное произведение и Таким образом,

Поэтому

Пусть

Определим случайное преобразование

Остается только показать, что последовательности и преобразования удовлетворяют условиям теоремы Дворецкого. Пусть

Мы покажем, что для любого откуда Имеем

С одной стороны,

а с другой —

Поэтому

и, следовательно,

Остается определить последовательности и для которых выполняются требуемые условия. Имеем

Далее будут установлены различные оценки, зависящие от и комбинируя их с членом который относительно быстро стремится к нулю, мы получим оценку для зависящую от Рассмотрим

Выберем положительную последовательность такую, что

а также положительную последовательность такую, что

и

Это легко сделать, так как свойство строгого монотонного возрастания функций гарантирует существование некоторой последовательности удовлетворяющей первому условию. Далее, любая последовательность, равномерно большая, чем также будет удовлетворять первому условию. Последовательность обладающая свойством А,

асимптотически меньше, чем Поэтому, выбирая, например, мы добьемся также выполнения и последних условий. Так как имеют одинаковый знак, то

для

Таким образом, если имеет тот же знак, что и х, то и мы можем записать

где

С другой стороны, если имеет знак, противоположный знатсу х, то и условие (5) обеспечивает существование такого что для

Объединяя получаем для для

Для

так как и выбраны так, что Отсюда

для

С помощью рассуждений, аналогичных использованным при выводе соотношения , можно установить асимптотическую оценку для для всех х. Так как имеют одинаковый знак, то для всех Это в сочетании с дает

Применим теперь и Для любого вектора обозначим через одну из компонент, удовлетворяющую условию

Полагая имеем

Если и поэтому для

Таким образом, используя получаем

для указанных выше значений Как и ранее, коэффициент в выписанном выше равенстве может быть несколько упрощен:

например, для Таким образом,

для достаточно большого Применяя получаем для

для всех . В частности,

для достаточно большого

Заметим, что выполняются равномерно для случайного преобразования Предполо-, жим, что требуемые последовательности и определены следующим образом:

Каждое неотрицательно, и Каждое является неотрицательной функцией и для любой последовательности такой, что

Пусть Для имеет место неравенство в силу Для имеет место неравенство

в силу и построения последовательности Таким образом, для условие (4) теоремы 3 Дворецкого выполняется, если использовать определенные выше

Если бы условие (4) имело место для всех то в силу, теоремы 3 Дворецкого результат был бы доказан. Отметим, что для завершения доказательства остается только показать, что для рассматриваемого здесь процесса стохастической аппроксимации достаточно, чтобы (4) имело место лишь для больших Предположим, что все последовательности (случайных величин, констант, функций, преобразований и т. д.) перенумерованы с т. е. пусть для Тогда очевидно, что асимптотическое поведение перенумерованных последовательностей подобно асимптотическому поведению первоначальных последовательностей; кроме того, очевидно, что все предположения теоремы Дворецкого выполнены для «нового» набора последовательностей, за исключением, быть может, условия (7) о том, что

Из (9), (9а) и (9а, 1) имеем для всех

а из имеем

Таким образом, по индукции получаем, что

Поэтому выполнены все условия теоремы Дворецкого. Отсюда вытекает требуемый результат.