ГЛАВА V. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЁЛА

§ 36. Движение твердого тела

§ 1 мы познакомились с двумя основными видамн движения твердого тела - поступательным и вращательным.

При поступатеьном движении все точки тела получают за один и тот же промежуток времени равные по величине и направлению перемещения, вследствие чего скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми.

Рис. 36.1.

Рис. 36.2.

Поэтому достаточно определить движение одной из точек тела (например, его центра масс) для того, чтобы охарактеризовать полностью движение этого тела.

При вращательном движении все точки твердого теладвижутея не окружностям, центры которых лежат на одной и той, же прямой называемой осью вращения. Для описания вращательного двнжеияя нужно задать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени.

Оказывается, что любое движение твердого тела может быть представлено как наложение, двух указанных выше основных видев движения. Покажем это для случая плоского двюкения, т. е. такого, при котором все точки тела перемещаются впараядельных плоскостях. Примером плоского движения может служить качение цилиндра но плоскости (рис. 36.1).

Произвольное перемещение твердого тела из положения 1 в положение 2 (рис. 36.2) можно представить как сумму двух перемещений — поступательного перемещения из положения в положение V или и поворота вокруг оси О или оси Очевидно, что такое разбиение перемещения на поступательное и вращательное может быть осуществлено бесчисленным множеством сцосббов, однако в любом случае производится поворот на один и тот же угол .

В соответствии со сказанным выше элементарное перемещение какой-либо точки тела можно разложить на два перемещения — «поступательное» и «вращательное» :

причем для всех точек тела одно и то же. Такое разложение перемещения можно, как мы йидели, осуществить различными способами, причем в каждом случае вращательное перемещение осуществляется поворотом тела на один и тот же угол (но относительно различных осей), в то время как оказываются различными.

Разделив на соответствующий промежуток времена dt, получим скорость точки

где v — одинаковая для всех точек тела скорость поступательного движения и v — различная для разных точек тела скорость, обусловленная вращением.

Таким образом, плоское движение твердого тела можно представить как сумму двух движений — поступательного со скоростью и вращательного с угловой скоростью о (вектор на рис. 36.1 направлен перпендикулярно к плоскости чертежа, за чертеж). Подобное представление сложного движения можно осуществить множеством способов, отличающихся значениями , но соответствующих одной и той же угловой скорости . Например, движение цилиндра, катящегося без скольжения по плоскости (рис. 36.1), можно представить как поступательное движение соскоростью и одновременное вращение: с угловой скоростью вокруг оси О, либо как поступательное движение со скоростью и вращение с той же угловой скоростью вокруг оси либо, наконец, как одно только вращение опять-таки с той же угловой скоростью со вокруг оси О.

Назвав систему отсчета, относительно которой мы рассматриваем сложное движение твердого тела, Неподвижной, движение, тела можно представить как вращение с угловой скоростью в системе отсчета, которая движется относительно неподвижной системы поступательно со скоростью .

Линейная скорость v точки с радиусом-вектором , обусловленная вращением твердого тела, равна (см. (5.8)). Следовательно, скорость этой точки при сложном движении может быть представлена в виде

Элементарное перемещение твердого тела при плоском движение всегда можно прёдетавить как поворот вокруг некоторой оси, называемой мгновенной осью вращения. Эта ось может лежать в пределах тела, либо вне его. Положение мгновенной оси вращения относительно неподвижной системы отсчёта и относительно самого тела, вообще говоря, меняется со временем. В случае катящегося цилиндра (рис. 36.1) мгновенная ось О совпадает с линией, касания цилиндра с плоскостью. При качении цилиндра мгновенная: ось перемещается как по плоскости (т, е. относительно неподвижной системы отсчета), так и по поверхности цилиндра.

Скорость всех точек тела для каждого момента времени можно считать обусловленными вокруг соответствующей мгновенной оси. Следовательно, плоское движение твердого тела можно рассматривать как ряд последовательных элементарных вращений вокруг мгновенных осей.

При неплоском движении элементарное перемещение тела можно представить как поворот вокруг мгновенной оси лишь в том случае, если векторы v и взаимно перпендикулярны. Если угол между этими векторами отпиш тела. В каждый момент времени будет наложением двух движении — вращения вокруг некоторой оси и поступательного движения вдоль этой: оси.