Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 9. Момент импульсаПерейдем к выводу закона сохранения, возникновение которого связано с изотропией пространства. Эта изотропия означает, что механические свойства замкнутой системы не меняются при любом повороте системы как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый поворот системы и потребуем, чтобы ее функция Лагранжа при этом не изменилась. Введем вектор Найдем, прежде всего, чему равно при таком повороте приращение радиус-вектора, проведенного из общего начала координат (расположенного на оси вращения) к какой-либо из материальных точек поворачиваемой системы.
Рис. 5. Линейное перемещение конца радиус-вектора связано с углом соотношением
(рис. 5). Направление же вектора перпендикулярно к плоскости, проходящей через
При повороте системы меняется направление не только радиус-векторов, но и скоростей всех частиц, причем все векторы преобразуются по одинаковому закону. Поэтому приращение скорости относительно неподвижной системы координат
Подставив эти выражения в условие неизменяемости функции Лагранжа при повороте
заменяем производные
или, производя циклическую перестановку множителей и вынося
Ввиду произвольности
т. е. мы приходим к выводу, что при движении замкнутой системы сохраняется векторная величина
называемая моментом импульса (или просто моментом} системы. Аддитивность этой величины очевидна, причем, как и у импульса, она не зависит от наличия или отсутствия взаимодействия между частицами. Этим исчерпываются аддитивные интегралы движения. Таким образом, всякая замкнутая система имеет всего семь таких интегралов: энергия и по три компоненты векторов импульса и момента. Поскольку в определение момента входят радиус-векторы частиц, то его значение, вообще говоря, зависит от выбора начала координат. Радиус-векторы
или
Из этой формулы видно, что только в том случае, когда система как целое покоится (т. е. Выведем также формулу, связывающую значения момента импульса в двух различных инерциальных системах отсчета К и К', из которых вторая движется относительно первой со скоростью V. Будем считать, что начала координат в системах К и К в данный момент времени совпадают. Тогда радиус-векторы частиц в обеих системах одинаковы, скорости же связаны посредством
Первая сумма в правой стороне равенства есть момент М в системе
Эта формула определяет закон преобразования момента импульса при переходе от одной системы отсчета к другой, подобно тому, как для импульса и энергии аналогичные законы даются формулами (8,1) и (8,5). Если система отсчета К есть та, в которой данная механическая система покоится как целое, то V есть скорость центра инерции последней, а Тогда
Другими словами, момент импульса М механической системы складывается из ее «собственного момента» относительно системы отсчета, в которой она покоится, и момента [RP], связанного с ее движением как целого. Хотя закон сохранения всех трех компонент момента (относительно произвольного начала координат) имеет место только для замкнутой системы, в более ограниченном виде этот закон может иметь место и для систем, находящихся во внешнем поле. Из приведенного выше вывода очевидно, что всегда сохраняется проекция момента на такую ось, относительно которой данное поле симметрично, и потому механические свойства системы не меняются при любом повороте вокруг этой оси; при этом, конечно, момент должен быть определен относительно какой-нибудь точки (начала координат), лежащей на этой же оси. Наиболее важным случаем такого рода является поле с центральной симметрией, т. е. поле, в котором потенциальная энергия зависит только от расстояния до некоторой определенной точки (центра) в пространстве. Очевидно, что при движении в таком поле сохраняется проекция момента на любую ось, проходящую через центр. Другими словами, сохраняется вектор М момента, но определенного не относительно произвольной точки пространства, а относительно центра поля. Другой пример: однородное поле вдоль оси z, в котором сохраняется проекция Отметим, что проекция момента на какую-либо ось (назовем ее
где координата
С другой стороны, функция Лагранжа в этих переменных имеет вид
и ее подстановка в (9,7) приводит к тому же выражению (9,8). Задачи1. Найти выражения для декартовых компонент и абсолютной величины момента импульса частицы в цилиндрических координатах
2. То же в сферических координатах Ответ:
3. Какие компоненты импульса Р и момента М сохраняются при движении в следующих полях: а) поле бесконечной однородной плоскости. Ответ: б) Поле бесконечного однородного цилиндра. Ответ: в) Поле бесконечной однородной призмы. Ответ: г) Поле двух точек. Ответ: д) Поле бесконечной однородной полуплоскости. Ответ: е) Поле однородного конуса. Ответ: ж) Поле однородного кругового тора. Ответ: а) Поле бесконечной однородной цилиндрической винтовой линии. Решение. Функция Лагранжа не меняется при повороте вокруг оси еинта (ось z) на угол
откуда
|
1 |
Оглавление
|