§ 9. Момент импульса

Перейдем к выводу закона сохранения, возникновение которого связано с изотропией пространства.

Эта изотропия означает, что механические свойства замкнутой системы не меняются при любом повороте системы как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый поворот системы и потребуем, чтобы ее функция Лагранжа при этом не изменилась.

Введем вектор бесконечно малого поворота, абсолютная величина которого равна углу поворота, а направление совпадает с осью поворота (причем так, что направление поворота отвечает правилу винта по отношению к направлению ).

Найдем, прежде всего, чему равно при таком повороте приращение радиус-вектора, проведенного из общего начала координат (расположенного на оси вращения) к какой-либо из материальных точек поворачиваемой системы.

Рис. 5.

Линейное перемещение конца радиус-вектора связано с углом соотношением

(рис. 5). Направление же вектора перпендикулярно к плоскости, проходящей через Поэтому ясно, что

При повороте системы меняется направление не только радиус-векторов, но и скоростей всех частиц, причем все векторы преобразуются по одинаковому закону. Поэтому приращение скорости относительно неподвижной системы координат

Подставив эти выражения в условие неизменяемости функции Лагранжа при повороте

заменяем производные

или, производя циклическую перестановку множителей и вынося за знак суммы:

Ввиду произвольности отсюда следует, что

т. е. мы приходим к выводу, что при движении замкнутой системы сохраняется векторная величина

называемая моментом импульса (или просто моментом} системы.

Аддитивность этой величины очевидна, причем, как и у импульса, она не зависит от наличия или отсутствия взаимодействия между частицами.

Этим исчерпываются аддитивные интегралы движения. Таким образом, всякая замкнутая система имеет всего семь таких интегралов: энергия и по три компоненты векторов импульса и момента.

Поскольку в определение момента входят радиус-векторы частиц, то его значение, вообще говоря, зависит от выбора начала координат. Радиус-векторы и та одной и той же точки по отношению к началам координат, смещенным на вектор а, связаны соотношением а. Поэтому имеем:

или

Из этой формулы видно, что только в том случае, когда система как целое покоится (т. е. ее момент не зависит от выбора начала координат. На законе сохранения момента эта неопределенность его значения, разумеется, не сказывается, так как у замкнутой системы импульс тоже сохраняется.

Выведем также формулу, связывающую значения момента импульса в двух различных инерциальных системах отсчета К и К', из которых вторая движется относительно первой со скоростью V. Будем считать, что начала координат в системах К и К в данный момент времени совпадают. Тогда радиус-векторы частиц в обеих системах одинаковы, скорости же связаны посредством . Поэтому имеем:

Первая сумма в правой стороне равенства есть момент М в системе введя во вторую сумму радиус-вектор центра инерции согласно (8,3), получаем:

Эта формула определяет закон преобразования момента импульса при переходе от одной системы отсчета к другой, подобно тому, как для импульса и энергии аналогичные законы даются формулами (8,1) и (8,5).

Если система отсчета К есть та, в которой данная механическая система покоится как целое, то V есть скорость центра инерции последней, а — ее полный импульс Р (относительно К).

Тогда

Другими словами, момент импульса М механической системы складывается из ее «собственного момента» относительно системы отсчета, в которой она покоится, и момента [RP], связанного с ее движением как целого.

Хотя закон сохранения всех трех компонент момента (относительно произвольного начала координат) имеет место только для замкнутой системы, в более ограниченном виде этот закон может иметь место и для систем, находящихся во внешнем поле. Из приведенного выше вывода очевидно, что всегда сохраняется проекция момента на такую ось, относительно которой данное поле симметрично, и потому механические свойства системы не меняются при любом повороте вокруг этой оси; при этом, конечно, момент должен быть определен относительно какой-нибудь точки (начала координат), лежащей на этой же оси.

Наиболее важным случаем такого рода является поле с центральной симметрией, т. е. поле, в котором потенциальная энергия зависит только от расстояния до некоторой определенной точки (центра) в пространстве. Очевидно, что при движении в таком поле сохраняется проекция момента на любую ось, проходящую через центр. Другими словами, сохраняется вектор М момента, но определенного не относительно произвольной точки пространства, а относительно центра поля.

Другой пример: однородное поле вдоль оси z, в котором сохраняется проекция момента, причем начало координат может быть выбрано произвольным образом.

Отметим, что проекция момента на какую-либо ось (назовем ее ) может быть найдена дифференцированием функции Лагранжа по формуле

где координата есть угол поворота вокруг оси z. Это ясно уже из характера изложенного выше вывода закона сохранения момента, но в том же можно убедиться и прямым вычислением. В цилиндрических координатах имеем (подставляя

С другой стороны, функция Лагранжа в этих переменных имеет вид

и ее подстановка в (9,7) приводит к тому же выражению (9,8).

Задачи

1. Найти выражения для декартовых компонент и абсолютной величины момента импульса частицы в цилиндрических координатах .

2. То же в сферических координатах

Ответ:

3. Какие компоненты импульса Р и момента М сохраняются при движении в следующих полях:

а) поле бесконечной однородной плоскости.

Ответ: (бесконечная плоскость — плоскость д).

б) Поле бесконечного однородного цилиндра.

Ответ: (ось цилиндра — ось z).

в) Поле бесконечной однородной призмы.

Ответ: (ребра призмы параллельны оси z).

г) Поле двух точек.

Ответ: (точки находятся на оси z).

д) Поле бесконечной однородной полуплоскости.

Ответ: (бесконечная полуплоскость — часть плоскости х, у, ограниченная осью у).

е) Поле однородного конуса.

Ответ: (ось конуса — ось z).

ж) Поле однородного кругового тора.

Ответ: (ось тора — ось z).

а) Поле бесконечной однородной цилиндрической винтовой линии. Решение. Функция Лагранжа не меняется при повороте вокруг оси еинта (ось z) на угол и одновременном переносе вдоль этой оси на расстояние ( — шаг винта). Поэтому

откуда