1. Аналитическая геометрия на плоскости

1.1. Декартовы и полярные координаты. Расстояние между точками

Декартова прямоугольная система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых, каждая из которых рассматривается как числовая ось (см. разд. 4.1). Эти прямые называются осями координат. Точка О их пересечения служит началом отсчета для обеих осей и называется началом координат. Единицы масштаба осей координат совпадают. Как правило, одну из координатных осей располагают горизонтально и считают положительным направление вправо. Эту ось называют осью абсцисс и обозначают буквой х или На вертикальной оси, называемой осью ординат и обозначаемой у или положительным обычно считают направление вверх.

Рис. 1.

Каждой точке М плоскости взаимно однозначно соответствует пара Действительных чисел — координат точки М. Эти числа являются координатами проекций точки М на оси х и у соответственно. Первая координата называется абсциссой, а вторая координата — ординатой точки М. Координатные оси делят плоскость на четыре части, называемые квадрантами (или четвертями), которые нумеруются, как показано на рис. 1.

Полярная система координат состоит из точки О, называемой полюсом, и луча называемого полярной осью. Положение каждой точки М на плоскости задается двумя полярными координатами: полярным радиусом и полярным углом (рис. 1). Значения угла определены с точностью до слагаемого — целое число).

Декартовы прямоугольные и полярные координаты точки М связаны соотношениями

Если заданы декартовы координаты х и у точки М, то полярный радиус а полярный угол находят из соотношения с учетом того, в каком квадранте лежит точка М.

Пример 1. Найти полярные координаты точки

Решение. Имеем так как точка М находится в третьем квадранте, то

Расстояние между двумя точками длина отрезка обозначается через или и вычисляется по формуле

Уравнение линии. Имея систему координат, множество всех точек на плоскости можно рассматривать как множество всевозможных пар чисел . Соотношения, накладываемые на определяют подмножества плоскости.

Линия на плоскости обычно задается при помощи уравнения, связывающего координаты . Уравнение называется уравнением линии , если для любой точки выполняется равенство а для любой точки справедливо неравенство

Пример 2. Написать уравнение линии , все тонки которой равноудалены от точек

Решение. Пусть — произвольная тонка, лежащая на С. Имеем

Из условия получим Раскрыв скобки, находим искомое уравнение: которое описывает прямую линию.

Уравнения наиболее часто встречающихся линий на плоскости приведены далее в разд. 1.3, 1.5, 1.6.