§ 4. Эйлеровы углы и кинематические уравнения Эйлера

Рассмотрим две системы координат с общим началом в неподвижной точке О, неподвижную в пространстве («латинскую») систему x, у, z и жестко связанную с телом и движущуюся вместе с ним («греческую») систему . Тело с неподвижной точкой, как уже указывалось выше, имеет три степени свободы, и поэтому для того, чтобы определить его положение в пространстве, надо задать три обобщенные координаты.

Проведем через оси плоскость P до пересечения с плоскостью (рис. V.7). Линия, по которой эта плоскость P пересекает плоскость , обозначается N и называется линией узлов. Угол между осью и линией узлов обозначается буквой , и называется углом прецессии.

Рис. V.7.

Задание угла полностью определяет положение линии узлов в пространстве, однако вся плоскость P может поворачиваться относительно линии узлов без изменения угла и, кроме того, система может вращаться относительно оси также без изменения этого угла. Чтобы фиксировать положение в плоскости P осей и греческой системы, введем в плоскости P угол между линией узлов и осью . Этот угол называется углом собственного (или чистого) вращения.

Теперь, когда углы фиксированы, у тела остается лишь одна степень свободы: не меняя этих углов, можно повернуть тело вокруг линии узлов. Чтобы фиксировать и этот поворот, введем в рассмотрение еще один угол 8 между осью z и осью . Этот угол называется углом нутации. Задание трех углов и полностью определяет положение греческой системы относительно латинской, т. е. полностью определяет положение тела. Вместе с тем эти три угла независимы в том смысле, что каждый из них можно менять без изменения двух остальных углов. Поэтому углы могут служить обобщенными координатами тела с неподвижной точкой О. Углы называются эйлеровыми углами.

Разумеется, эйлеровы углы не единственно возможный выбор обобщенных координат. В динамике полета, например при исследовании движения самолета или ракеты, используется иногда иной выбор обобщенных координат: в качестве трех углов, характеризующих положение летящего тела, принимают угол отклонения горизонтальной оси самолета от заданного курса (угол рыскания), угол поворота вокруг горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно курсу, например вдоль крыльев, и характеризующей отклонение от горизонтали (угол тангажа), и наконец, угол поворота вокруг продольной оси самолета (угол крена).

При изучении движения тела с неподвижной точкой мы в качестве обобщенных координат будем брать эйлеровы углы, т. е. считать, что

Угловые скорости изображаются векторами, направленными перпендикулярно плоскостям, в которых расположены соответствующие углы. Поэтому угловая скорость направлена перпендикулярно плоскости P, т. е. по оси ; угловая скорость — перпендикулярно плоскости , т. е. по оси z; и наконец, угловая скорость 0 направлена перпендикулярно плоскости, проходящей через оси и z, т. е. вдоль линии узлов (рис. V.8). В связи с тем, что эйлеровы углы независимы, угловые скорости представляют собой систему трех независимых угловых скоростей, пересекающихся в одной точке О.

Движение тела можно при этом рассматривать как сложное движение, состоящее из трех независимых вращений; в соответствии с общими правилами сложения движений результирующая угловая скорость равна геометрической сумме этих трех угловых скоростей:

Раньше мы разложили эту же угловую скорость иначе — на три составляющие вдоль осей и обозначили эти три составляющие буквами p, q и r соответственно. Поэтому

Но существует только один вектор угловой скорости, а выписанные равенства представляют лишь его разложения по разным направлениям, так что

Для того чтобы установить связь между p, q, r — проекциями вектора на оси, связанные с телом, и эйлеровыми углами, спроектируем поочередно равенства (52) на эти оси.

Рис. V.8.

Рис. V.9.

Вспомогательное построение, используемое при проектировании вектора , показано на рис. V.9, где R — прямая в плоскости , перпендикулярная линии узлов. В соответствии с рис. V.8 и V.9 проектирование равенства (52) на оси координат дает

Уравнения (53) называют иногда кинематическими уравнениями Эйлера в отличие от другой группы уравнений, также выведенных Эйлером (они будут рассмотрены в следующем параграфе). Уравнения (53) выражают выведенные выше вспомогательные переменные p, q, r — проекции вектора на оси — через эйлеровы углы и их производные.

Если эйлеровы углы известны как функции времени, то равенства (53) позволяют немедленно определить, как меняются во времени p, q и r. Если же, наоборот, известно, как меняются во времени p, q, r, то равенства (53) представляют собой систему дифференциальных уравнений относительно эйлеровых углов . Поэтому если мы получим уравнения, описывающие изменение во времени вспомогательных переменных p, q, r, то такие уравнения совместно с уравнениями (53) полностью Опишут изменение во времени эйлеровых углов. Именно вывод таких уравнений и составляет цель следующего параграфа.