3. Ортонормированные базисы в E^n.

Мы уже выяснили, что скалярное произведение может быть задано с помощью метрического тензора координаты которого представляют собой элементы симметричной положительно определенной матрицы Именно, согласно (8.43),

Известно, что с помощью преобразования базиса матрицу билинейной формы можно привести к диагональному виду. При этом, в силу положительной определенности матрицы, после приведения матрицы к диагональному виду координаты метрического тензора будут равны нулю при и единице при Обозначая эти координаты прежним символом получим

Базис в котором координаты метрического тензора удовлетворяют условию (8.50), является ортонормированным Действительно, так как (см. (8.44)), то согласно

а это и означает, что в; — ортонормированный базис.

В гл. 4 мы выяснили, что в ортонормированном базисе скалярное произведение векторов х и у с координатами может быть вычислено по формуле

а квадрат длины вектора х — по формуле

Обратимся к так называемым ортогональным линейным преобразованиям, т. е. к таким линейным преобразованиям,

при которых ортонормированный базис переходит в ортонормированный. Иными словами, если — ортогональное преобразование и ортонормированный базис, то также образует ортонормированный базис

Исследуем действие преобразования на произвольный вектор Обозначим через X результат действия на X

Используя свойство линейности найдем

Так как — базис, то из последнего соотношения вытекает, что вектор X имеет в базисе такие же координаты, как и вектор х в базисе т. е. при ортогональном преобразовании сохраняют свое значение координаты вектора.

Поскольку — ортонормированный базис, то скалярное произведение (X, векторов может быть найдено по формуле (8.51), а квадрат длины (X, X) вектора — по формуле (8.52). Мы выяснили, что при ортогональных преобразованиях сохраняют свое значение координаты векторов. Отсюда и из соотношений (8.51) и (8.52) получаем

Таким образом, при ортогональных преобразованиях не меняются длины векторов и их скалярные произведения.

Как известно, ортогональные преобразования могут быть заданы с помощью ортогональной матрицы. Определитель такой матрицы удовлетворяет условию

Выберем один из ортонормированных базисов и договоримся называть этот базис правым. В этом случае будем говорить, что евклидово пространство ориентировано. Все базисы в получающиеся из данного ортогональными преобразованиями с определителем, равным назовем правыми, а все базисы, которые получаются из данного ортогональными преобразованиями с определителем, равным —1, — левыми. Легко убедиться, что преобразование правого базиса в правый характеризуется равенством определителя преобразования, а левого в левый — равенством —1 этого определителя.

Обозначим через — множество всех ортогональных преобразований в , а через — множество ортогональных преобразований правых базисов.

Эти множества будут рассмотрены в следующей главе.

Замечание. В дальнейшем мы будем называть произвольный базис (левым), если определитель матрицы перехода от выбранного ортонормированного базиса к базису положителен (отрицателен).