2. Представление билинейной формы в конечномерном линейном пространстве.

Пусть в -мерном линейном пространстве задана билинейная форма Выясним вопрос о представлении формы в случае, когда в задан определенный базис

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 7.1. Билинейная форма при заданном в n-мерном линейном пространстве базисе может быть однозначно представлена в следующем виде:

где

а — координаты в базисе векторов х и у соответственно.

Доказательство. Пусть разложения векторов х и у по базису е. Так как форма линейна по каждому из аргументов х и у (см. (7.1)), то

Таким образом, для формы справедливо представление (7.3) с выражениями (7.4) для коэффициентов

Чтобы доказать однозначность этого представления, предположим, что для справедливо представление (7.3) с некоторыми коэффициентами . Беря в мы сразу же получим выражения (7.4) для коэффициентов Теорема доказана.

Определение. Матрица

элементы которой определены с помощью соотношений (7.4), называется матрицей билинейной формы в данном базисе е.

Замечание 1. Обратимся к вопросу о построении всех билинейных форм в данном конечномерном вещественном пространстве . Ответ на этот вопрос следующий: любая квадратная матрица является в данном базисе матрицей некоторой билинейной формы.

Убедимся в справедливости этого утверждения.

Определим в линейном пространстве с данным базисом с помощью матрицы числовую функцию двух векторных аргументов вида

Легко видеть, что эта функция удовлетворяет всем условиям определения билинейной формы. Но тогда, согласно теореме 7,1, элементы заданной матрицы равны а написанная выше формула есть представление этой формы в виде (7.3).

Согласно сделанному замечанию естественно называть представление (7.3) билинейной формы общим видом билинейной формы в ерном линейном пространстве.

Замечание 2. Если — симметричная (кососимметричная) билинейная форма, то матрица (7.5) этой формы в базисе является симметричной (кососимметричной). Справедливо и обратное — если матрица (7.5) билинейной формы симметрична (кососимметрична), то и билинейная форма является симметричной (кососимметричной).

Убедимся в справедливости этого замечания.

Пусть — симметричная (кососимметричная) билинейная форма. Полагая в соотношениях получим, согласно (7.4),

т. е. матрица (7.5) является симметричной (кососимметричной).

Пусть теперь матрица (7.5) билинейной формы симметрична (кососимметрична), т. е. ее элементы удовлетворяют соотношениям (7.6). Тогда из соотношения (7.3) и соотношения следует, что , т. е. форма является симметричной (ко сосимметричной).