§ 4. Линейные и полуторалинейные формы в евклидовом пространстве

1. Специальное представление линейной формы в евклидовом пространстве.

Пусть V — евклидово пространство, комплексная плоскость (одномерное комплексное линейное пространство).

В п. 1 § 1 этой главы мы ввели понятие линейной формы — линейного оператора, действующего из V в С. В этом пункте мы получим специальное представление произвольной линейной формы из .

Лемма. Пусть — линейная форма из . Тогда существует единственный элемент А из V такой, что

Доказательство. Для доказательства существования элемента А выберем в V ортонормированный базис

Рассмотрим элемент А, координаты которого в выбранном базисе определяются соотношениями

Таким образом

Пусть — произвольный элемент пространства V. Используя свойства линейной формы и равенство (5.41), получим

Так как в ортонормированием базисе скалярное произведение векторов хкек и равно то из (5.42) получаем .

Существование вектора А доказано.

Докажем единственность этого вектора. Пусть — два вектора таких, что с помощью этих векторов форма может быть представлена в виде (5.40). Очевидно, для любого х справедливо соотношение из которого следует равенство

. Полагая в этом равенстве используя определение нормы элемента в евклидовом пространстве, найдем Итак, Лемма доказана.

Замечание. Очевидно, лемма справедлива и в случае, если V — вещественное евклидово пространство, где — вещественная прямая.