§ 9. Линейные операторы в вещественном евклидовом пространстве

В этом параграфе мы покажем, каким образом определения и результаты предыдущих параграфов переносятся на случай вещественных евклидовых пространств.

1. Общие замечания.

Рассмотрим произвольное -мерное вещественное евклидово пространство V и оператор А, действующий в V.

Понятие линейного оператора для случая вещественного линейного пространства формулируется в полной аналогии с соответствующим понятием для комплексного пространства.

Определение 1. Оператор А называется линейным, если для любых элементов любых вещественных чисел а и Р выполняется равенство

В полной аналогии с комплексным пространством вводится понятие собственного значения и собственного вектора оператора.

Важно заметить, что собственные значения являются корнями характеристического уравнения оператора.

Обратное утверждение в вещественном случае верно лишь тогда, когда соответствующий корень характеристического уравнения вещественный. Только в этом случае указанный корень будет собственным значением рассматриваемого линейного оператора.

В связи с этим естественно выделить какой-либо класс линейных операторов в вещественном евклидовом пространстве, все корни характеристических уравнений которых вещественны.

В доказанной выше теореме 5.16 было установлено, что все собственные значения самосопряженного оператора вещественны. Кроме того, понятие самосопряженного оператора играло важную роль в выводах § 6 настоящей главы о квадратичных формах. Естественно поэтому перенести понятие самосопряженного оператора на случай вещественного пространства.

Предварительно введем понятие оператора А, сопряженного к оператору А. Именно, оператор А называется сопряженным к А, если для любых х и у из V выполняется равенство

Без затруднений на случай вещественного пространства переносится теорема 5.12 о существовании и единственности сопряженного оператора.

Напомним, что доказательство теоремы 5.12 опирается на понятие полуторалинейной формы. В вещественном случае вместо полуторалинейной формы следует воспользоваться билинейной формой

По этому поводу в п. 2 § 4 гл. 5 сделано соответствующее замечание.

Напомним в связи с этим определение билинейной формы в любом вещественном не обязательно евклидовом линейном пространстве Пусть В — функция, сопоставляющая каждой упорядоченной паре векторов вещественное число

Определение 2. Функция называется билинейной формой, заданной на если для любых векторов из и любого вещественного числа X выполняются соотношения

Важную роль в данном параграфе будет играть специальное представление билинейной формы в виде

где А — некоторый линейный оператор. Соответствующая теорема (теорема 5.11) об аналогичном представлении полуторалинейной формы в комплексном пространстве опиралась на выводы леммы § 4 настоящей главы о специальном представлении линейной формы . В конце указанного пункта отмечалось, что эта лемма верна и в вещественном пространстве. Заметим только, что в доказательстве леммы выбор элементов нужно производить не по формуле (5.41), а с помощью формулы где — данная линейная форма в вещественном пространстве.

В § 6 настоящей главы были введены эрмитовы формы. Эрмитова форма — это полуторалинейная форма в комплексном пространстве, характеризующаяся соотношением (черта над В означает, что берется комплексно сопряженное значение для В).

В случае вещественного пространства аналогом эрмитовых форм служат симметричные билинейные формы. Такая форма характеризуется соотношением

Билинейная форма заданная на линейном пространстве называется кососимметричной, если для любых векторов из выполняется соотношение Очевидно, что для каждой билинейной формы функции

являются соответственно симметричной и кососимметричной билинейными формами. Поскольку то мы получаем следующее утверждение:

Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной билинейной формы.

Нетрудно видеть, что такое представление является единственным.

Мы докажем следующую теорему о симметричных билинейных формах (эта теорема служит аналогом теоремы 5.25 об эрмитовых формах).

Теорема 5.33. Для того чтобы билинейная форма заданная на всевозможных векторах х и у вещественного евклидова пространства V, была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы линейный оператор А, фигурирующий в представлении (5.113), был самосопряженным.

Доказательство. Если А — самосопряженный оператор, то, используя свойства скалярного произведения, получим

Таким образом, выполняется соотношение (5.114), т. е. билинейная форма симметричная.

Если же форма симметричная, то справедливы соотношения

Следовательно, оператор А самосопряженный. Теорема доказана.

Введем понятие матрицы линейного оператора А, Пусть — какой-либо базис в -мерном вещественном линейном пространстве . Положим

Тогда, как и в комплексном случае, нетрудно показать, что если то . Для компонент вектора справедливо представление

Матрица называется матрицей линейного оператора А в базисе

Аналогично тому, как это было сделано в § 2 настоящей главы, можно доказать, что величина не зависит от выбора базиса и, тем самым, корректно вводится определитель оператора А.

Характеристическим уравнением, отвечающим оператору А, называется уравнение многочлен, стоящий в левой части этого уравнения, называется характеристическим многочленом оператора А.

Докажем теперь теорему о корнях характеристического многочлена самосопряженного оператора в вещественном евклидовом пространстве.

Теорема 5.34. Все корни характеристического многочлена самосопряженного линейного оператора А в евклидовом пространстве вещественны.

Доказательство. Пусть — корень характеристического уравнения

самосопряженного оператора А.

Фиксируем в V какой-либо базис и обозначим через — элементы матрицы оператора А в этом базисе (отметим, что — вещественные числа).

Будем искать ненулевое решение следующей системы линейных однородных уравнений относительно

где

Так как определитель системы (5.116) равен (напомним, что определитель матрицы линейного преобразования не зависит от выбора базиса и, согласно (5.115), этот определитель равен нулю), то система (5.116) однородных линейных уравнений имеет ненулевое решение

Подставляя это решение в правую и левую части системы (5.116), учитывая при этом, что и отделяя затем вещественную и мнимую части полученных соотношений, найдем, что наборы вещественных чисел удовлетворяют следующей системе уравнений:

Рассмотрим в данном базисе векторы х и у с координатами соответственно. Тогда соотношения (5.117) можно переписать в виде

Умножим первое из полученных соотношений скалярно на у, а второе — на х. Очевидно, получим равенства

Так как оператор А самосопряженный, то Поэтому путем вычитания соотношений (5.118) получим равенство

Но (если то следовательно, решение было бы нулевым, тогда как по построению это решение ненулевое). Поэтому а так, как — мнимая часть корня характеристического уравнения (5.115), то, очевидно, -вещественное число. Теорема доказана.

Как и в комплексном случае, для самосопряженного оператора справедливо утверждение о существовании ортонормированного базиса, состоящего из собственных векторов этого оператора (аналог теоремы 5.21). Докажем это утверждение.

Теорема 5.35. У каждого самосопряженного линейного оператора А, действующего в n-мерном вещественном евклидовом пространстве V, существует ортонормированный базис из собственных векторов.

Доказательство. Пусть — вещественное собственное значение оператора А, а — единичный собственный вектор, отвечающий этому собственному значению

Обозначим через -мерное подпространство пространства V, ортогональное к Очевидно, — инвариантное подпространство пространства V (т. е. если то ). Действительно, пусть тогда Поскольку оператор А самосопряженный — собственное значение А, получим

Следовательно, и поэтому — инвариантное подпространство оператора А. Поэтому, мы можем рассматривать оператор А в подпространстве Ясно, что в оператор А будет самосопряженным По теореме 5.34 у оператора А, действующего в имеется вещественное собственное значение которому отвечает собственный вектор оператора А, удовлетворяющий условию

Обращаясь далее к -мерному подпространству ортогональному векторам и и повторяя только что описанные рассуждения, мы построим собственный вектор оператора А, ортогональный векторам и удовлетворяющий условию

Рассуждая и дальше таким же образом, мы в результате найдем взаимно ортогональных собственных векторов оператора А, удовлетворяющих условию Очевидно, векторы образуют базис в V. Теорема доказана.

Замечание. Пусть — ортонормированный базис в -мерном евклидовом пространстве V, состоящий из собственных векторов самосопряженного оператора А, т. е. — Тогда матрица оператора А в базисе является диагональной, причем диагональные элементы имеют вид

Отметим, что если — произвольный ортонормированный базис в вещественном евклидовом пространстве V, то матрица самосопряженного оператора А будет симметричной, т. е. Верно и обратное утверждение, т. е. если в некотором ортонормированном базисе матрица оператора является симметричной, то оператор А — самосопряженный.

Этим вещественный случай отличается от комплексного, поскольку в комплексном случае оператор А является самосопряженным тогда и только тогда, когда матрица А этого оператора в ортонормированном базисе является эрмитовой, т. е. элементы матрицы А удовлетворяют условию (черта означает комплексное сопряжение).

Указанное утверждение непосредственно следует из того, что если — матрица оператора А, то матрица сопряженного оператора в вещественном случае равна а в комплексном случае — что легко проверяется прямым вычислением.