7. Унитарные группы.

В этом пункте мы обратимся к комплексному линейному пространству. В полной аналогии с этого параграфа можно рассматривать группы линейных преобразований такого пространства. Так как комплексное число определяется двумя вещественными числами (действительной и мнимой частью), то полная линейная группа преобразований -мерного комплексного линейного пространства изоморфна полной линейной группе преобразований вещественного -мерного пространства (вместо этого символа часто пишут подчеркивая тем самым, что речь идет о группе преобразований вещественного пространства).

В полной линейной группе преобразований комплексного евклидова пространства по аналогии с вещественным евклидовым пространством рассматриваются так называемые унитарные группы являющиеся аналогом ортогональных групп (напомним, что в § 7 гл. 5 унитарные преобразования (унитарные операторы) определялись как линейные преобразования, сохраняющие скалярное произведение; таким же образом в вещественном случае определялись и ортогональные преобразования).

Как и в вещественном случае, в группе унитарных преобразований выделяется подгруппа для которой определители унитарных преобразований равны единице.